力学の問題について

質問

力学の問題について質問させていただきます。

[問題]
図のように質量mの小球AとBが、ばね定数kの軽いばねの両端に取り付けられ、滑らかな水平上に置かれている。
はじめ、ばねは自然の長さlになっており、小球AとBは静止している。
その時のAとBの重心Gを原点とし、AからBへ向かう直線をx軸とする。
時刻t=0に、質量mの小球Cがx軸に沿って速さv0でAに弾性衝突した。
以下の問いに答えよ。

(1) 衝突直後のAの速度を求めよ。
(2) 小球A、Bの位置座標をそれぞれxA、xBとして、A、Bの運動方程式を書け。
(3) 衝突後、重心Gは等速直線運動をする。その速度を求めよ。
(4) 重心Gの位置座標をxGとする。小球Aの重心Gからの相対位置座標xA-xGは、衝突前は-l/2であるが、衝突後は時間的に変化する。相対位置座標の初期値-l/2からの変位y=xA-xG+l/2が従う運動方程式をかけ。
(5) 変位ｙの時間変化は周期的である。その周期を求めよ。
(6) 小球Aの位置座標xAを時間tの関数として表せ。

設問(1)、(2)、(3)は解けまして、

(1) v0
(2) mxA'' = -k(l-xB+xA)
mxB'' = k(l-xB+xA)
(3) v0/2

になるのではないかと思います。
設問(4)がよくわからなくて、問題文が理解できませんでした。
(4)がわかれば、(5)、(6)も解けると思うのですが…

(4)、(5)、(6)に関して、すべてでなくてもかまいませんので、解説よろしくお願いいたします。

回答No.2

coJJyMAN · ベストアンサー

確かに問題文(4)がわかりにくいですね。　僕はこう考えました。

xGは等速直線運動なので加速度ゼロ。したがってyの運動方程式は
my''=m(xA''+xG''+l''/2)=mxA''=-k(l-xB+xA)
ところがxGはAとBの重心、つまり
xG=(xA+xB)/2
なので
y=(xA-xB-l)/2
と書けます。　するとyの運動方程式も
my''=-k(2y)=-2ky
とyの微分方程式となって解くことができます。

お礼

回答ありがとうございます！
詳しい解説をつけていただいて、
一つ一つ式の意味も理解することができました！
ありがとうございました！

回答No.1

hitokotonusi

この場合は変数をr = xB-xAにして二体問題にしてしまった方が楽なんですけどね。。。。

重心の座標は定義から

xG = [ m xA + m xB ] / [m+m} = [xA + xB ] /2

重心から見たときのAの位置は

xA - xG = xA - [xA + xB ] /2 = [xA - xB ]/2

-l/2からの差をyとするので

y = [xA - xG ] - (-l/2) = [xA - xB ]/2 + l/2 = [xA - xB + l]/2

運動方程式

m xA'' = - k (xA-xB + l)
m xB'' = + k (xA-xB + l)

を辺辺引き算すると

m ( xA'' - xB'') = m d^2 (xA - xB)/dt^2 = -2k (xA-xB + l)

この式は

2y = xA - xB + l, d^2 (xA - xB)/dt^2 = d^2 (xA - xB + l)/dt^2

である事を考えれば

m y'' = -2k y

お礼

回答ありがとうございました！
とてもわかりやすかったです！
理解することができました！