バネでつながれた二つの球

質問

「質量がそれぞれｍ1、ｍ2（ｍ1＞ｍ2）の二つの球をバネ定数ｋ、自然長ａの軽いバネでつなぐ（これを系Ｓとする）。
系Ｓがｘ軸上で自然長を保ち静止しているとき、時刻ｔ＝０にｍ1に瞬間的に力積を加えて速度ｖ0を与えた。」

というような問題で、(1)の問が

「ｔ秒後のｍ1、ｍ2の位置をｘ1(t)、ｘ2(t)とするとき、ｍ1、ｍ2それぞれについて運動方程式を書け。」

という問なのですが、考え方が分からなくて困っています。
この後にも

「系Ｓの重心座標をＸ(t)、ｍ1に対するｍ2の相対座標をｘ(t)として、運動方程式を書き換えよ。」

や

「系Ｓの振動の周期Ｔを求めよ。」

などの問もあるのですが、とにかく始めでつまずいてしまい困っています。
ヒント等でも構わないので、ご回答頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.4

ht1914 · ベストアンサー

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「～の大きさの力が加わって」とか「～の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は＃１の回答にあるとおりです。
ｍ２　　　　　　ｍ１（質量）
ｘ２　　　　　　ｘ１（位置）
Ｖ２　　　　　　Ｖ１（速度）
Ａ２　　　　　　Ａ１（加速度）
○－－－－－○　　（－－－－はバネです）
自然長ａ、バネ定数ｋ、初速度ｖ０
ｘ１（０）－ｘ２（０）＝ａです。
（右向きを正に取っています。）

運動方程式は
ｍ１Ａ１＝－ｋ（ｘ１－ｘ２－ａ）
ｍ２Ａ２＝ｋ（ｘ１－ｘ２－ａ）
力はバネが変形しているときに働きます。自然長よりも長くなっているときは物体１には左向きに、物体２には右向きに働きます。初速を右向きに与えているという場合ですからこの表現でいいと思います。これだけなんですが初めてだとけっこう考えるのが難しいです。特に符号が難しいです。（１を左に持ってくる方が逆旅区を与えたというのにうまく合っているように思いますが符号に注意がいります。やって見られるといいと思います。）

２つの式を足してみて下さい。
ｍ１Ａ１＋ｍ２Ａ２＝０
になります。左辺を（ｍ１＋ｍ２）で割ると重心の加速度＝０になります。重心は等速度で運動しているという結果になります。外力が働いていないのでこうなります。これは上の運動方程式のチェックになります。
重心の速度をＶＧとします。
ＶＧ＝（ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２）／（ｍ１＋ｍ２）＝ｍ１ｖ０／（ｍ１＋ｍ２）
です。ここで初速度ｖ０が出てきます。
物体は振動しながら運動しているはずですが重心の運動が等速度ですから重心に対して振動していると考えられます。そこで重心座標と相対座標に書き換えるという考えが出てきます。相対座標は２つの立場があります。重心に対する相対座標と１に対する２の相対座標とです。２体の場合はどちらでの表現も可能です。

上の式で
Ａ＝ｄ＾２ｘ／ｄｔ＾２＝Ａ１－Ａ２
を求めると
Ａ＝－（１／ｍ１＋１／ｍ２）ｋ（ｘ－ａ）＝－ｋ（ｘ－ａ）／μ
です。μは１と２を合わせて考えるときの有効質量です。「換算質量」といいます。
１／μ＝１／ｍ１＋１／ｍ２
μ＝ｍ１ｍ２／（ｍ１＋ｍ２）
です。
質量の項を左辺に持っていくと
μＡ＝－ｋ（ｘ－ａ）
これはｘ＝ａを中心とする単振動になります。
２つの物体の間でだけ力が働いている場合、重心座標と相対座標に変換すると２体問題が一体問題に変わります。人工衛星の運動は地球が止まっているとして考えてよいというのもこれの例です。水素原子の中での電子の運動も重心を止めて考えます。
座標形の書き換えについては力学の教科書に載っているはずです。バネでいきなり出てくるのではないはずです。

運動エネルギーの和の書き換えの質問がこのカテで過去に出ています。

お礼

たいへん丁寧かつ分かりやすいご回答ありがとうございます。

おかげで無事問題を解く事ができました。

回答No.3

Tori_30

＃２です。既に自分（＃２の回答）の間違いを発見してしまいましたｗ

うわ～。癖で振動方程式で書いちゃった（汗）それ以前に正負が間違ってるしｗダメダメでしたｗ（そもそも多分、式の組み立て自体が間違ってるだろうしね。特に右側ｗあれはうろ覚えですｗ）

＃２の（例）に書いてある式は間違いですので、信用しないようにｗ本当にすみません。

補足

詳しい説明ありがとうございます。

自分の持ってる教科書を見てみましたが、そのような項目はありませんでした…
しかし、なんとなく分かった気がするので色々やってみます。
まぁ、(1)だけで終わる可能性大ですが…(笑)

回答No.2

Tori_30

解き方や公式・・・はおぼろげにしか覚えてないんですけど、何に載っていたかは覚えています。
まず、その教科の教科書を見て下さい。『２自由度振動系』って項目ないですか？それをきちんと読めば分かると思います。

とりあえず、覚えている事（うろ覚えなので、自分でも調べてみる事。間違ってるかも知れないからｗ）から。
質点ごとの運動方程式を立てるって事です。これはまるまんま教科書に書いてある（と思う）のでそれを書き写して、x1,x2それぞれにx1(t),x2(t)を代入して下さい。それが答えです。

要素は加速度、速度、変位、そして力です。”ｍ*dx^2/dt^2（質量×加速度）” ,” c*dx/dt（減衰係数×速度）注１ ”,” k*x（バネ定数×変位）” の３つの要素を左の項に、力Ｐを右の項に配します。（注１について。ここでは減衰がないので c*dx/dt は除外して下さい。）これが『振動方程式』。
『運動方程式』は左の項に加速度を、それ以外を右の項にまとめたものです。
例）m1*dx1^2/dt^2+k(x2(t)-x1(t)-a)＝dx1/dt*t*k
m2*dx2^2/dt^2-k(x2(t)-x1(t)-a)＝－dx1/dt*t*k
（dx/dtってやつはｘのｔについての偏微分です。dx^2/dt^2は２階の偏微分です）

ちなみに、例は僕なりに一つ目の問題について考えてみました。多分（いや、きっと）間違ってるだろうけどｗ何せ殆ど忘れちゃいましたね。

後の二つは教科書見ないとさっぱり分かりません。相対座標x(t)は（x2(t)-x1(t))を置き換えれば良いと思いますけどね。x1とx2もそれぞれ変換して下さい。でも、重心座標Ｘ(t)なんてのも出てるしなぁ～。重心座標は・・・知らないやｗ（覚えてないだけかも？ｗ）自分の駄目学生時代を悔やみますｗ

まあ、肝は『きっと教科書に載ってるよ！！』って事でまる投げです。すみませんｗ

回答No.1

rabbit_cat

球に加わる力は、バネから受ける力だけです。
バネから受ける力の大きさは、バネの自然長からの伸び |x2(t)-x1(t)|-a に比例します。

お礼

ご回答ありがとうございます。
これをもとにもう一度トライしてみます！