置換積分？

質問

（1）∫1/√（e^ｘ+1）dx
（2）∫1/ｘ（3√ｘ＋1）dx
※3√はルート3乗根の意味です

（1）はe^ｘをｔとおいて計算してみたのですがうまく行かず
さらに√（e^ｘ+1）を丸ごとｔとおいて計算したのですがどうしても
答えにたどり着けませんでした
（2）は3√ｘ＋1とｔとおいてみたのですが余計に複雑なってしまい
そのほか多数試してのですがこちらもよくわかりませんでした

それぞれ答えは
（1）log（√（e^ｘ+1）-1/√（e^ｘ+1）+1）
（2）3log（3√ｘ/3√ｘ+1）
とのことですがよろしくお願いします
また、積分計算の学習にわかりやすい本がありました
同時に教えていただけないでしょうか

回答No.3

mobu · ベストアンサー

（１）は√(e^x＋１)をtとおくと、
e^x=t^2-1となり、これを微分すると
e^xdx=2tdt
　∫1/√（e^ｘ+1）dx
＝∫e^x/{e^x√（e^ｘ+1）}dx
＝∫2t/t(t^2-1)dt
＝∫２/（t+1）(t-1)dt

(２)は3√ｘ＋1をｔとおくと
ｘ＝(t-1)^3
dｘ＝3(t-1)^2dt
これより
　∫1/ｘ（3√ｘ＋1）dx
＝∫3(t-1)^2/{t(t-1）^3}dｔ
＝∫3/{t(t-1）}dｔ

(１)(２)ともこのあと解くと解答のようになりますよ。

お礼

詳細な回答ありがとうございます
　∫1/√（e^ｘ+1）dx
＝∫e^x/{e^x√（e^ｘ+1）}dx
のように変形するとは思いもよりませんでした

なかなか難しいものですね
もっと練習を積みます
ありがとうございました

回答No.4

exodus55

計算問題の答えは皆さんが解いてくれているのでいいと思います。参考書ですが、やはり王道で数研出版のチャートがいいと思います。けれど数3はとにかく解きまくるといいと聞きました。多分置換積分なら50題くらい解けば、何か雰囲気が読めてくると思います。数3は質より量なので、頑張ってください。（もちろん参考書を使ってもいいと思います。）

お礼

すいません
本屋で多数見てきました
最近の参考書はものすごい解説ですね
私は古い本しか見ていなかったので
ちょっと最近の本を買ってみます
アドバイスありがとうございました

補足

参考書の件ありがとうございます
数研出版の赤チャートを持っています
ただ完全に独学で予備校や学校にも通っていません
また身近に質問できるような人もいないので
（普通のサラリーマンですので）
そうなると問題から直接答えしか書いていない本では
正直かなり効率が悪いので（数Iのときは1年かかりました）
解答の過程まで載っている問題集のような本があればと
思ったのですが・・・・・・・

回答No.2

ojisan7

質問者の、その方法でよいと思います。正解まで、あと一息です。
（１）は、
　　e^ｘ＝ｔとおいて、計算した後、今度は、
√（t+1）＝u　とおけばよいと思います。そうする　　　と、分母が因数分解できる形になりますので、それ　　　を、部分分数に分解すればよいわけです。
（２）は、
　　3√ｘ＝tとおけば、分母が因数分解できる形になりますね。

　がんばってください。

お礼

早速の回答ありがとうございます

アドバイス頂いた方法で回答にたどり着けました
ありがとうございました

回答No.1

iwaiwaiwa

(1)はお察しのような方法でできます。
=∫2/(t^2-1)dt
=∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=log|t-1|-log|t+1|+C
Cは積分定数
tは実際は1より大きいので絶対値は外れます。

お礼

早速の回答ありがとうございます
何とか回答にたどり着けました