積分です。。

質問

不定積分、∫（１＋ｅ＾-ｘ分の１－１＋ｅ＾ｘ分の１)ｄｘ　の計算です。。
答えは２ｌｏｇ(ｅ＾ｘ＋１)－ｘ＋Ｃです。。

何回かやったんですけど、答えがすべて違ってしまい、
途中式も何をやっていたのか分からなくなってしまうんです(>_<)
すいませんがお願いします。。

回答No.2

springside · ベストアンサー

e^xしか登場しない場合、置換すると少し楽になることがあります。

被積分関数を変形すると、
1/(1+e^-x) - 1/(1+e^x)
=e^x/(e^x+1) - 1/(1+e^x)
=(e^x-1)/(e^x+1)
となります。

ここで、e^x=tと置くと、(e^x)dx=dtなので、dx=(1/e^x)dt=(1/t)dtとなるから、
∫{1/(1+e^-x) - 1/(1+e^x)}dx
=∫{(t-1)/(t+1)}*(1/t)dt　（※）

すると、被積分関数は(t-1)/{t(t+1)}ですが、これは、2/(t+1)-1/tと変形できるので、
（※）=∫{2/(t+1)-1/t}dt
=2log(t+1) - log t + C （Cは任意定数）
=2log(e^x+1) - x + C

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

mmky

不定積分、∫{1/(1＋ｅ＾-x) －1/(1+ｅ＾ｘ)}ｄｘ　の計算です。。
ということですね。やってみましたが多少の操作は必要ですが
答えは２ｌｏｇ(ｅ＾ｘ＋１)－ｘ＋Ｃ　になりますね。
参考程度に

∫{1/(1＋ｅ＾-x) －1/(1+ｅ＾ｘ)}ｄｘ
=∫{1/(1＋ｅ＾-x)}dx －∫{1/(1+ｅ＾ｘ)}dx
=x+log(1+ｅ＾-x)-x+log(1+ｅ＾x)+c
=log(1+ｅ＾-x)+log(1+ｅ＾x)+c
=log{(1+1/ｅ＾x)(1+ｅ＾x)}+c
=log{(2+ｅ＾x+1/ｅ＾x)(ｅ＾x)(ｅ＾-x)}+c
=log{(2ｅ＾x+ｅ＾2x+1)(ｅ＾-x)}+c
=log{1+ｅ＾x}＾2-x+c
=2log{1+ｅ＾x}-x+c
註：(ｅ＾x)*(ｅ＾-x)=1, を掛けて少し変形すると答えになります。

計算過程
ｅ＾-x=z , dx=-dz/ｅ＾-x=-dz/z
∫{1/(1＋ｅ＾-x)}dx=-∫{1/z(1+z)}dz=-∫{(1/z)-1/(1+z)}dz
=-logz+log(1+y)+c1
=-log(ｅ＾-x)+log(1+ｅ＾-x)+c1
=x+log(1+ｅ＾-x)+c1

ｅ＾x=y , dx=dy/ｅ＾x
-∫{1/(1+ｅ＾ｘ)}dx=-∫{1/y(1+y)}dy=-∫{(1/y)-1/(1+y)}dy
=-logy+log(1+y)+c2
=-log(ｅ＾x)+log(1+ｅ＾x)+c
=-x+log(1+ｅ＾x)+c

以上　参考程度に

お礼

ありがとうございました！！