数III 積分

質問

高校の数IIIで２つほど質問があります。

〔１〕
I_1=∫1/(x+1)^2dx , I_2=∫x/(x+1)^2dx　をそれぞれ求めよ。

この問題でI_1を求めて、その結果を利用してI_2を部分積分して
I_2=log｜x+1｜-x/(x+1)+C　(Cは積分定数)　と答えを出したのですが
解答では右辺の符号はすべて＋となっています。
何度、計算をしても－が出てしまい、お手上げです。

〔２〕
C:y=とL:y=1/(√3)xおよびx軸で囲まれた領域をx軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ。

という問題です。
Lを回転して出来る立体の体積からCを回転して出来る立体の体積を引いて求めるというやり方は
理解しているんですが、どうも計算が上手くいきません。
π∫[0→3](1/(√3)x)^2dx-π∫[3/2→3](√(2x-3))^2dx
という式は立てられていて、そこから答えを導くことが出来ません。
どのように計算方法と結果を教えてください。

以上の２問。
回答をお待ちしております。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

[1]
I_1=∫1/(x+1)^2dx=∫(x+1)^(-2)dx=-(x+1)^(-1)+C = -(1/(x+1)) +C (Cは積分定数)

I_2=∫x/(x+1)^2dx=∫(x+1-1)/(x+1)^2dx=∫(1/(x+1))-(1/(x+1)^2)dx
=∫1/(x+1)dx -∫1/(x+1)^2dx
=log|x+1| - I_1
=log|x+1| +(1/(x+1)) + C (Cは積分定数)

>I_2=log｜x+1｜-x/(x+1)+C　(Cは積分定数)　と答えを出したのですが
=log|x+1|+(1-(x+1))/(x+1) +C
=log|x+1|+(1/(x+1))-1+C ← C'=C-1とおく
　　=log|x+1|+(1/(x+1))　+C'

>解答では右辺の符号はすべて＋となっています。
上のように変形すれば符号はすべて＋です。

[2]
> C:y=とL:y=1/(√3)xおよびx軸で囲まれた領域をx軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ。
Cが書いてないですが　C:y=√(2x-3) …(1)ですか？
またLは
　L:y=(1/(√3))x …(2)
　L:y=1/((√3)x) …(3)
のどちらですか？

(1),(2)として回答します。

>π∫[0→3] (1/√3)^2*x^2 dx -π∫[3/2→3](√(2x-3))^2 dx
=π∫[0→3] (1/3)x^2 dx -π∫[3/2→3] (2x-3) dx
=π[(1/9)x^3](x=3)- π[(1/4)(2x-3)^2](x=3)
=3π-π(9/4)=3π/4

お礼

不定積分で答えの表し方が１通りではないことは分かってたんですが……
そのような積分定数の置き方で答えが違ってしまうんですね。
式まで出していただきありがとうございます。

また、質問に不備があり、すみませんでした。解いていただいた式で間違いないです。
ありがとうございました。

回答No.3

metzner

No1です。　あなたの答えで合ってますよ。自信を持ってください。解答例はlog|x+1|+1/(x+1)+Cではありませんか？もしそうなら、あなたの答えはlog|x+1|-x/(x+1)+Cだから２つとも同じ答えです（積分定数のとりかたの違いです）。とりあえず不定積分で答えを出したら、微分して検算することを薦めます。微分の練習も両方できます。２番めの問題は式が書けているんですから、あとは自信を持って地道に計算を実行することです。めんどくさがったらいけません。

お礼

回答例は仰せの通りです。何度やっても自分のやり方と答えが合わずに焦っていました。
勇気付けていただきありがとうございます。検算もしていこうと思います。

回答No.1

metzner

[1]はあなたの解答が正解では？　正解かどうかは解答例をみるんではなくて、微分してみてチェックするんです。だってテスト中に解答例はみれないでしょ？

[2]C:y=? ?はなんでしょう？

お礼

２度の回答、ありがとうございます。

補足

[１]ですが、略解で、I_1+I_2を計算して最後にI_1を移項していて
それが正しいならI_1は負なのでやはり右辺は＋なのかな……と。

すみません、C:y=√(2x-3)　です。