積分の計算過程で・・・

質問

いつもお世話になっています。

(1)
積分の計算過程で、

1/2a∫(1/(x-a)-1/(x+a))dx = 1/2a∫(1/(x-a)d(x-a)-1/(x+a))d(x+a))

と置き換えれるのはなぜでしょうか??

(2)x>0 の範囲で x/1+x < log(1+x)・・底はe < x の証明問題でグラフを書いて求めてる方法を使ったのですが、計算で求めることはできないでしょうか？

以上よろしくお願い致します。

回答No.1

proto · ベストアンサー

(1)について、
推測するに置換積分をかなり省略した書き方です。

∫f(x-a)dxをy=x-aと置換してみます。
dy=dxですから、
　　∫f(x-a)dx = ∫f(y)dy
となります。
具体的な関数ではないのでわかりにくいかも知れませんが、y=x-aのようなx軸方向の平行移動の置換ではf(x-a)がf(y)となるだけで、非積分関数の本質的な形は変わりません。
形式的にですが、先ほどの置換積分の右辺にy=x-aを代入してみてください。
　　∫f(y)dy = ∫f(x-a)d(x-a)
となりますね。
これは、わざわざy=x-aと置換しなくても(x-a)をまとめて変数のように見て、f(x-a)を(x-a)で積分するように考えればよいという事です。

積分を習いたての高校生などはわざわざy=x+2などと置いて置換しますが、置換しても積分の形が大して変わらないので慣れてくれば置換せずにそのまま積分する方が早いのです。
例を挙げれば、
　　∫{(x+1)^2}dx = ((x+1)^3)/3 +C
　　∫{cos(x+π)}dx = sin(x+π) +C
等です。これらはわざわざ置換するまでもない積分です。
質問者様が積分に慣れてるなら言っていることのニュアンスがわかってもらえると思います。何にしても正式な書き方では無いと思います。