空間のベクトルの図形の質問です。

質問

３点、A（１、０、０）　B（０、２、０）　C(０、０、３）　を通る平面をαとする。△ABCの重心をGとし、原点Oから平面αに下ろした垂線の足をHとする。

問　点Hの座標を求めよ。

点Hが平面αを通るから、AH↑＝sAB↑＋tAC↑
まずなぜこうなるのかよくわかりません。

平面αと直線OHが垂直だから、
OH↑＝sAB↑＋tAC↑＋OA↑
となる。

となっているのですが、なぜこう表されるのかがよくわかりません。
解答お願いします。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>点Hが平面αを通るから、AH↑＝sAB↑＋tAC↑　まずなぜこうなるのかよくわかりません。

sAB↑＋tAC↑は AB↑と AC↑とで生成される平面ですね。
αが原点を通るまで、さの平面を平行移動したもの。
もとの平面αは
　OH↑＝sAB↑＋tAC↑＋OA↑　　…(1)
と表せるはず。
原点Oから平面αに下ろした垂線の足 H とすれば、AH↑= OH↑ - OA↑なので、(1) の両辺から OA↑ を差し引いた結果なのでしょう。
わざわざ「平行移動した」理由は、質問文だけではわかりません。

>平面αと直線OHが垂直だから、OH↑＝sAB↑＋tAC↑＋OA↑　となる。　となっているのですが、なぜこう表されるのかがよくわかりません。

「平面αと直線 OH が垂直だから」じゃなくて、単に「OH↑が平面α上にあるなら」その式が成立する、つまり {s, t} が(この例では、一意的に) 存在するはず…と読み取れます。
「平面αと直線 OH が垂直だから」という条件を如何に導入していくのかは、これまた質問文だけからは読み取れません。

初っ端は大事です。
ヨクヨク熟考されんことを…。

回答No.3

yyssaa

点Hが平面αを通るから、AH↑＝sAB↑＋tAC↑
まずなぜこうなるのかよくわかりません。
＞「点Hが平面αを通るから」はおかしい。
「点Hは平面α上にあるから」が正しい。
であれば、A、B、C、Hはいずれも平面α上にあるから
AH↑＝sAB↑＋tAC↑と表現できる。

平面αと直線OHが垂直だから、
OH↑＝sAB↑＋tAC↑＋OA↑
となる。
となっているのですが、なぜこう表されるのかがよくわかりません。
＞OH↑=OA↑+AH↑
これに上の式AH↑＝sAB↑＋tAC↑を代入すれば
OH↑=OA↑+sAB↑＋tAC↑になる。

回答No.2

bon_be

点Hが平面αを通るから、AH↑＝sAB↑＋tAC↑

こっちも表現がおかしいですよね？
「点Hが平面αを通るから」ではなくて、「点Hが平面α上の点なので」みたいな表現の方が、すんなりとするけどな。

回答No.1

tekcycle

ｘｙｚ座標軸、を考えてみてください。何なら描いてください。
なんらかの点Ｈがｘｙ平面上にあるとするなら、点Ｈの座標は、(ｘ1,ｙ1,０)というように書けますよね。
これはベクトルで言うとｘ方向の単位ベクトルのｘ1倍の長さのベクトルと、ｙ方向の単位ベクトルのｙ1倍の長さのベクトルと(ｚ方向の０の長さのベクトルと)、を辿ると行き着く場所にある、ということになります。
原点をＯとしてベクトルで書くと、
ＯＨ↑＝ｘ1×ｘ↑＋ｙ1×ｙ↑(＋０×ｚ↑)
なんてことです。
だから、ｘｙ平面上の座標は、単位ベクトルｘ↑とｙ↑とそれぞれのパラメーターで記述できる、ってわけです。
解ります？
例えば、(３,２)というｘｙ平面上にある座標は、原点から、まず単位ベクトルｘ↑を3倍したところに進み、次にそこから単位ベクトルｙ↑を２倍したところにあるわけです。
これ、ちゃんと図に描いてみてください。
逆に、ｘｙ平面上に無い点、(３,２,１)のようなｚの成分を持つ点は、ｘ↑とｙ↑をいくら伸び縮みさせても、どうやっても行き着かないわけです。

上記はｘｙ平面つまりｘ↑とｙ↑とで作られる面の話でしたが、ｘｙのように直交してなくったって良いじゃない、斜めだって良いじゃない、ってことです。
そこでＡＢ↑やＡＣ↑を考えたって、その平面上の点なら、パラメーターを使えば、ｘｙ平面上の時と同じように記述できるでしょ、って事です。

> 平面αと直線OHが垂直だから、
> OH↑＝sAB↑＋tAC↑＋OA↑

書き方が乱暴だし理由がメチャクチャですね。私なら減点します。
ＯＨ↑＝ＯＡ↑＋ＡＨ↑
ですよね。
ＯからＡ地点を経由して点Ｈに向かう感じ。これはＯＨ↑と同じですよね、ってこと。
で、ＡＨ↑は上記でパラメーターを使って出してあるから、それを代入したって事です。
ＡＨ↑＝ｓＡＢ↑＋ｔＡＣ↑より、
ＯＨ↑＝ＯＡ↑＋ｓＡＢ↑＋ｔＡＣ↑
と書いてあれば、誰にでも判る。
誰かに判らないように書くのがエライんじゃありません。誰にでも判るように書くのがエライんです。
しかも、垂直であることは、ここまでは無関係です。
おそらくその次に、ＯＨ↑とαとが垂直だから、ＡＢ↑ともＡＣ↑ともそれぞれ垂直なはずで、それぞれ内積を取ってみると、なんて話が出てくるんじゃないでしょうか。とっくに忘れましたが。
出したいパラメーターが２つで、内積の式が２つ得られるから、解けるのでは。

だからその解答は減点。
実にくだらないところで理解するのに時間がかかるダメ解答。というか、理由が間違ってるからそのままは理解できないし。
それが何かの教材で、どれもこれもそんな解答ばかりなら、場合によっては教材を変えるでしょうね。
もっとハイレベルな問題なら、駿台なんてその手のことをしでかしそうですが。

なお、上記がすんなり理解できない場合は、ベクトルの基礎の基礎が全く身についてない可能性が大で、
であれば、それらの問題はあなたの実力の２段以上上の問題のような気がします。
理解するのにやたらと時間がかかるはずですし、おそらく身につかないでしょう。
従って、もっと教材のレベルを落とし、それを身に付けてからそのレベルに再挑戦すべきです。
解答が酷いようですから、上記の説明ですんなり理解できて、それなら解けそうだ、ということであれば、このままそのレベルの問題の演習を続けて構わないだろうと思います。