空間ベクトル

質問

四面体OABCにおいて、∠AOB＝∠AOC＝60°、∠BOC＝90°、OA＝1とする。
頂点Oから平面ABCに下ろした垂線が、△ABCの重心Gを通るとき、辺OB,OCの長さを求めよ。

という問題です。
V(OG)＝1/3{V(OA)+V(OB)+V(OC)}
点Gは平面ABC上の点より
V(AG)＝sV(AB)+tV(AC)とおける
整理して
V(OG)＝(1-s-t)V(OA)+sV(OB)+tV(OC)

V(OA),V(OB),V(OC)}は１次独立より、係数比較から
s＝1/3,t＝1/3
∴V(AG)＝1/3{V(AB)+V(AC)}

としましたが、辺OB,OCの長さには行き着きそうもありません。
どなたか教えて下さい。

回答No.1

larme001 · ベストアンサー

まず、空間ベクトルは図で書くのが難しいので、平面よりわかりにくくなりますが、基本的には二次のときと同様に出来ます。解くときも、脈絡なしでただ闇雲に条件をだして式変形するのでは、迷走します。まずは、大体どの様な方針でいくと解けそうかをある程度は定めて、それに向かっていくようにしましょう。
ちなみに、任意の点からの位置ベクトルを用いて三角形の重心G=1/3(A＋B＋C)が成り立ちます。ここで、基点をAにとればAG=1/3(AB+BC)となるので、質問者さんが、計算しているのは、これを言ったに過ぎず、初めの式を書き換えているだけで、かなり迷走しています。

さて、今回求めたいのは、OB、OAの長さすなわち絶対値のOB,OAが知りたいのです。そして、頂点Oに関する角が三つ与えられています。また、OA=1藻分かります。ポイントは、高校ベクトルで、角度とベクトルといったら、内積しかありません。よって、おそらく内積から、うまくOB, OCを求めるのだろうと予想がつくでしょう。頂点Oに関する角が与えられていることからすると、基点Oにしたベクトルで表現して解くのがオーソドックスだろうとも気付きます。
ここで、もう一つ、垂直条件が与えられています。つまり平面abcとOGが垂直ということは、OG・AB, OG・ACの２つの内積が0です。

以上をせいりして、いけば解けるのが分かるでしょう。最後の垂直条件をOからのベクトルの式でそれぞれ表すと、OA・OB, OA・OCなどが必要になるでしょうから、ここで、これらの内積と角度を帰着させて整理するだけです。

これでも分からなければ、補足してください。入試のベクトルは基本的にやることがあまりないので、なれれば、得点源になります。さらに、よく出る範囲でもあるし、いろいろと応用が効くので、ぜひ得意分野にしておきましょう。

お礼

夜分遅くに回答ありがとうございました。解けました。

数学の先生も「ベクトルはワンパターンだから、慣れれば得点とれる」
と言っていました。
志望大学には結構出る分野なので、頑張りたいと思います。

回答No.2

Damena

ヒント：vec(OG)⊥△ABC ⇔ vec(OG)・vec(AB)=0 かつ vec(OG)・vec(AC)=0

ちなみに答えは、複雑な値になります。OB = OC = (1+√17)/4

図形描画ソフトがあるのなら、直交座標系で
O(0, 0, 0)
A(1/2, 1/2, 1/√2)
B((1+√17)/4, 0, 0)
C(0, (1+√17)/4, 0)
と入力してみてください。

お礼

夜分遅くに回答ありがとうございました。
Damenaさんと同じ答えに行き着きました。

休憩時間に入力してみたいと思います。