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ベクトルの問題です (阪大)
空間に座標軸をとり、原点をOとする。Oを一頂点とする正四面体OABCがり、3頂点A,B,Cは、xy平面上の放物線y=kx^2をy軸の周りに回転してできる曲面上にある。 この正四面体の一辺の長さlをkであらわせ。ただし、k>0とする。 解答 点Aを通りy軸に垂直な平面とOB y軸に定める平面と与えられた曲面との交点をB^とすると OB=OA=OB^ ゆえに、BとB^は一致するCについても同様であるから 平面ABCはy軸に垂直である、したがって平面ABCとy軸の交点 Hは△ABCの重心である。 ∴AH=2/3・AM=2/3 ・√3i/2 = l/√3 また題意から OH→=kAH^2→=kl^2/3 ゆえに、 OA→=OH→^2+HA^2→に上の関係を代入して l^2=K^2l^4/9 + l^2/3 ∴kl=√6 (答) l=√6/k 質問です、まず図を書いてみました。3次元のグラフを書いて xy平面上に0を頂点として(凸を下向きにして)描き この放物線がy軸上の周りをコマのように回ってるイメージを描きました。 そのあと、正四面体の点ABCをおき、このコマのように回ってる中に正四面体が入るように図を描きました。 質問1:点Aをとおりy軸に垂直な平面とはいったいどんなものですか??平面ABCのことですか?平面ABCがy軸に垂直なのですか??もし平面ABCならなぜですか??正四面体の性質の何かからですか?? 質問2:y軸の定める平面と、あたえられた曲面?って二つわかりませんでした。それらが交差する点がB^らしいのですが。。 そして、BとB^は一致するみたいですけど。。これらの図が不明なので、なにか図があって、それが、一致するとは読み取れるのですが。。 どうして、平面ABCとy軸の交点Hは三角形ABCの重心なのですか?正四面体の性質と関係してますか??正四面体を調べても、 この部分の説明とつながれませんでした>_< 質問3:最後の方にある、また題意からOH→=kAH^2→。。って部分がありますけど、題意のどこからこれがでてきたのでしょうか?? すごく不明です>_< どなたか教えてください、宜しくお願いします!!>_<
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質問1: >平面ABCがy軸に垂直なのですか?? そうです。 >平面ABCならなぜですか?? その説明を、質問2の部分でしているわけです。 質問2: 回答に誤植があるのか、ここに写すときに間違えたのかはわかりませんが、おそらく正しくは、 ・点Aを通りy軸に垂直な平面と、 ・直線OBとy軸によって定められる平面と、 ・xy平面上の放物線y=kx^2をy軸の周りに回転してできる曲面(これが与えられた曲面です)、 の交点をB^とすると OB=OA=OB^ ゆえに、BとB^は一致する。 Cについても同様であるから平面ABCはy軸に垂直である。 てことなんでしょう。 OB=OAは正四面体の定義から、OA=OB^は、点B^が点Aを通りy軸に垂直な平面上にあることから、きています。 この結果、点Bと点B^は、ともに ・直線OBとy軸によって定められる平面と、 ・xy平面上の放物線y=kx^2をy軸の周りに回転してできる曲面 の交線上にあり、OB=OB^ですので、実は、点Bと点B^は同じ点であることがわかります。 したがって、点Bは、「点Aを通りy軸に垂直な平面」上にあることがわかります。 点Cも同様に、「点Aを通りy軸に垂直な平面」上にあることがわかります。 したがって、「平面ABCはy軸に垂直な平面」であることがわかります。 質問2の後半: 平面ABCとy軸の交点Hが三角形ABCの重心になるのは、正四面体の性質です。正四面体の1つの頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の三角形の重心になります。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q117761996 とか。 質問3: OH→=kAH^2→ ではなくて、 OH=kAH^2 (ベクトルではなくて長さ) だと思いますが。 ここで題意というのは、「点Aが、xy平面上の放物線y=kx^2をy軸の周りに回転してできる曲面上にある。」ということです。
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- nero199
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よくわかんないとこもあるんですが一応説明します。間違ってたらすいません。 質問1 OA=OB=OCであり放物線は下に凸です。よってXが増えるとYも増加します。2次元で考えるとy=kx^2上でOからの距離が等しい点は2点しかありません。それは(α、β)(-α、β)です。(α β:任意) ある点(A、KA^2)の点をy軸を中心に回した円からOまでの距離は等しいです。ちなみに円の方程式はX^2+Z^2=Aですここに(α、β、0)(-α、β、0)を代入することで同一平面だと分かります。 よってABCはY軸に垂直な平面にあります。 質問2 ABCはy軸に垂直な平面にあり y=kx^2上です平面で考えるとABCは円上で正三角形なのはわかりますよね?その円の中心がy軸なのでHが重心です。正三角形の性質ですね。 質問3 Y=KX^2に Y=OH X=AHを代入です 感覚的に理解する力もつけたほうがいいですね。わかりにくくてごめんなさい。質問1はよくわかんなかったので自分なりにしてみました。