空間図形です。

質問

空間上に４点Ｏ，Ａ、Ｂ，Ｃがあり、ＯＡ＝３、ＯＢ＝ＯＣ＝４　∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝∠ＡＯＢ＝π/
3であるとき３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面に垂線ＯＨをおろす。直線CHと直線ABの交点をDとするとき、長さの比CH：HD、AD：DBをそれぞれ求めよ。という問題ですが、よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa

＞ベクトル(↑)を使った解法
↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、AD:DB=t:1-t(0≦t≦1)
HD:CH=s:1-s(0≦s≦1)とすると
↑OA+t↑AB+↑DC=↑OC
↑AB=↑b-↑aだから↑DC=(t-1)↑a-t↑b+↑c
↑OH=↑OA+t↑AB+s↑DC=↑a+t(↑b-↑a)+s{(t-1)↑a-t↑b+↑c}
=(1+st-s-t)↑a+(1-s)t↑b+s↑c
↑OH⊥↑ABだからベクトルのスカラー積を↑・↑で表すと
↑OH・↑AB=0、上式を代入して計算
↑OH・↑AB={(1+st-s-t)↑a+(1-s)t↑b+s↑c}・(↑b-↑a)
=(1+st-s-t)↑a・↑b+(1-s)t↑b・↑b+s↑c・↑b
-(1+st-s-t)↑a・↑a-(1-s)t↑b・↑a-s↑c・↑a=0
ここで↑a・↑a=|↑a|^2=9、↑b・↑b=|↑b|^2=16
↑a・↑b=↑b・↑a=|↑b|*|↑a|cos∠AOB=4*3*cosπ/3=6
↑c・↑b=|↑c|*|↑b|cos∠BOC=4*4*cosπ/3=8
↑c・↑a=|↑c|*|↑a|cos∠COA=4*3*cosπ/3=6を代入
↑OH・↑AB
=(1+st-s-t)*6+(1-s)t*16+s*8-(1+st-s-t)*9-(1-s)t*6-s*6=0
整理して5s+13t-13st-3=0・・・・・(ア)
同様に
↑OH⊥↑BC、↑BC=↑c-b↑だから
↑OH・↑BC={(1+st-s-t)↑a+(1-s)t↑b+s↑c}・(↑c-b↑)
=(1+st-s-t)↑a・↑c+(1-s)t↑b・↑c+s↑c・↑c
-(1+st-s-t)↑a・↑b-(1-s)t↑b・↑b-s↑c・↑b=0
ここで↑a・↑c=↑c・↑a=6、↑b・↑c=↑c・↑b=8
↑c・↑c=|↑c|^2=16、と上式を代入
↑OH・↑BC=(1+st-s-t)*6+(1-s)t*8+s*16
-(1+st-s-t)*6-(1-s)t*16-s*8=0
整理してs-t+st=0・・・・・(イ)
(ア)(イ)を連立で解いてt=1/5、s=1/6
よって、AD:DB=t:1-t=(1/5):(1-1/5)=(1/5):(4/5)=1:4
HD:CH=s:1-s=(1/6):(1-1/6)=(1/6):(5/6)=1:5
CH:HD=5:1、AD:DB=1:4・・・答

回答No.1

yyssaa

＞ベクトルを使わずに解くと
△OBCは正三角形だからBC=4、
余弦定理によりAB^2=3^2+4^2-2*3*4cosπ/3=13、AB=√13
△OAB∽△OACだからAC=AB=√13
BCの中点をEとするとOE=2√3
△ABEで三平方の定理によりAE^2=AB^2-BE^2=13-4=9、AE=3
△OAEは四面体OABCを二等分するので、面OAEと面ABCは直交
するので、点HはAE上の点であり、OH⊥AE。
△OHEでOH^2+HE^2=OE^2=12
△OAHでOH^2+AH^2=OH^2+(AE-HE)^2=OH^2+(3-HE)^2=OA^2=9
両式を連立で解いてHE=2。AH=AE-HE=3-2=1。
△ABCにメラニウスの定理を適用すると
(AD/DB)*(BC/CE)*(HE/AH)=1だから(AD/DB)*(4/2)*(2/1)=1
よりAD/DB=1/4・・・・・(1)
同様に(CE/EB)*(BA/AD)*(DH/HC)=1だから
(2/2)*(5/1)*(DH/HC)=1よりDH/HC=1/5・・・・・(2)
(2)(1)よりCH:HD=5:1、AD:DB=1:4・・・答

お礼

ありがとうございます。心から感謝です。２つの解法を参考にさせて頂きます。