平面極座標での角運動量

質問

電磁気での問題で粒子Pの速さvは平面極座標を用いて

√r・^2＋(rθ・^2)

と表せると書いてありました。

なぜそうなるのでしょうか。

r・のドットは一回微分を示しています。

デカルト座標と空間座標の差は(x,y,z) = (r,θ,φ)と表す基準が違う程度しか知識がありません。

数学的な問題なのであえてこちらで質問いたしました。

ご面倒をおかけいたしますがご教授の程よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

平面上の粒子の位置 P が、デカルト座標で (x, y)、極座標で (r, θ) だったら、
x = r cosθ, y = r sinθ　の関係にあります。よって、
P・ = (x・, y・) = ((r・)cosθ-r(θ・)sinθ, (r・)sinθ+r(θ・)cosθ) です。
x・, y・ の計算には、積の微分法則 (fg)・ = (f・)g + f(g・) を使いました。
v^2 = |P・|^2 = (x・)^2 + (y・)^2 の右辺を、上式を使って展開整理すると、
v^2 = (中略、計算してみて下さい) = (r・)^2 + (r^2)(θ・)^2 となりますから、
平方根をとれば、質問の式が現れます。

お礼

高校の数学１・２の範囲でわかるように説明をしてくださり。微分の席の公式なども脚注に入れ、本当にわかりやすいご教授誠にありがとうございます。
お陰様でノートに書いて平方根を取れば質問と同じ答えにたどり着けました。今後ともよろしくお願い申し上げます。

回答No.1

ereserve67

平面上の運動ですよね．

動径ベクトル

re_r

において

e_r=icosθ+jsinθ

です．i,jはx,y軸方向の基本ベクトルで定ベクトルですね．これを時間で微分すると

de_r/dt=i(-sinθ)dθ/dt+jcosθdθ/dt

=(dθ/dt)(-isinθ+jcosθ)

よって速度ベクトルは

v=d(re_r)/dt=(dr/dt)e_r+rde_r/dt

=(dr/dt)(icosθ+jsinθ)+r(dθ/dt)(-isinθ+jcosθ)

=i{(dr/dt)cosθ-r(dθ/dt)sinθ}+j{(dr/dt)sinθ+r(dθ/dt)cosθ}

よってその大きさの2乗は

|v|^2={(dr/dt)cosθ-r(dθ/dt)sinθ}^2+{(dr/dt)sinθ+r(dθ/dt)cosθ}^2

=(dr/dt)^2cos^2θ-2r(dr/dt)(dθ/dt)sinθcosθ+r^2(dθ/dt)^2sin^2θ
+(dr/dt)^2sin^2θ+2r(dr/dt)(dθ/dt)sinθcosθ+r^2(dθ/dt)^2cos^2θ

={(dr/dt)^2+r^2(dθ/dt)^2}(cos^2θ+sin^2θ)

=(dr/dt)^2+r^2(dθ/dt)^2

よって

|v|=√{(dr/dt)^2+r^2(dθ/dt)^2}

※数学的にはこれで厳密ですが，物理的には次のようにすれば十分です．dtの間にr方向にdr，θ方向にrdθ進むので三平方の定理よりdtの間に進む距離dsは

ds=√{dr^2+(rdθ)^2}

これをdtで割って

ds/dt=√{(dr/dt)^2+(rdθ/dt)^2}

これが速さです．

お礼

ベクトル解析での単位ベクトルとその外積の計算方法について導出から物理学的な計算の過程まですべて記してくださり本当にありがとうございます。
教えていただいたことが教科書の証明レベルの硬派なものがお陰様でノートに示せば理解できそうなほど丁寧に解説下さりありがとうございました。

今後ともこれに懲りずによろしくお願い申し上げます。