【力学】極座標

質問

図をみても極座標がわからなかったので教えてほしいです

(A)x,y,zをr,θ,Φ（極座標）で表して欲しいです
(B)速度のx,y,z成分を極座標を用いてを表して欲しいです
(c)運動エネルギーを極座標を用いて表して欲しいです

回答お願いします

回答No.4

Quarks · ベストアンサー

３次元空間の極座標で、紛らわしいのは、添付した図で言えば、x,y平面への、動径ｒの射影Ｒをどのように処理するかでしょうね。図をじっくり見て考えると良いです。
x-y平面に落ちた、動径ｒの射影の長さＲは、動径とｚ軸とを含む平面（添付図）を考えると理解しやすいのではないでしょうか。（添付図と、質問者さんが描いた図とを見比べて考えて下さい）

x-y平面での極座標表示は、この
　R=ｒ・sinθ
を、x-y平面での動径として考えれば良いわけです。

x=Ｒ・cos φ=r・sin θ・cos φ
y=Ｒ・sin φ=r・sin θ・sin φ
z=r・cos θ　　これは、添付図から明らかです。

これらを、時間変数 t で微分すると、速度が、さらに速度を微分すると加速度が得られます。
ｘ軸方向の速度 vx は
vx=dx/dt=d(r・sin θ・cos φ)/dt
これは、多変数を含む式の微分ですから、そのことに注意して微分します。r,θ,φの３つの変数が混じっています。

vx=d(r・sin θ・cos φ)/dt
=（sin θ・cos φ)dr/dt＋(r・cos φ)・cosθ・dθ/dt＋(r・sin θ)(-sin φ)・dφ/dt

第1項は、変数 r について微分しました。このときは、θ,φを含む部分は定数扱いします。
第2項は、変数θについて微分しました。rやφを含む部分は定数扱いです。ただし、sin θを t で微分しますが、θとtとは異なる変数なので、まずは sin θ を θ で微分して(cos θ)、更に θ を t で微分する(dθ/dt) 操作が必要になってきます。
第3項は、変数φについて微分したものです。

同様に
vy=d(r・sin θ・sin φ)/dt=(sin θ・sin φ)・dr/dt＋…

vz=d(r・cos θ)/dt　　これだけは、φを含まない分、少し簡単な式になります。

運動エネルギーＫは、(1/2)m・(vx^2＋vy^2＋vz^2)ですから、上の結果を当てはめるだけです。整理するのはとても面倒ですが、力仕事のレベルですから、根気強く整理するしかないでしょう。
dr/dtを含む項、dθ/dtを含む項、dφ/dtを含む項にそれぞれまとめれば、整理終わりです。
K=(1/2)・m・{(…)(dr/dt)^2＋(…)(dθ/dt)^2＋(…)(dφ/dt)^2}

お礼

わかりやすい説明と図　ありがとうございました

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>x=r・cosθcosφ
>y=r・cosθsinφ
>z=r・cosθ

じゃなかった

x=r・sinθcosφ
y=r・sinθsinφ
z=r・cosθ

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(A) は

x=r・cosθcosφ
y=r・cosθsinφ
z=r・cosθ

で、r, θ、φ を時間の関数としてx, y, z を時間で微分すれば
速度が求まりますから直ちに運動エネルギーが求まります。

回答No.1

LHS07

3次元も2次元の応用です。
2次元を復習すれば1と2は解ると思います。
解るまで教科書をじっくり読みましょう。