級数

質問

次の数列・級数の収束・発散を調べ、収束するときには極限を求めよ。また、発散のときはその理由を書け。
という問題で、
(1)an={sin(nθ)}/n
(2)an=cos nπ/n+1
という二つの問題にぶつかりました。私はsinやcosの場合は全て発散すると思っていました。(1)の答えは発散するだったのですが、(2)は-1でした。
どなたか、アドバイスをお願いします。

回答No.1

marcell · ベストアンサー

(2)は n/(n+1)が 1に近づくので、
{n/(n+1)}*π は πに近づきます。
したがって、anは cos π に近づき、-1になります。

n/(n+1)が 1に近づくという感覚は
nに1,2,3, ... , 100 と代入していくと
0.5, 0.67, 0.75, ... , 0.99 と考えると
わかりやすいかもしれません。

お礼

ご返答ありがとうございます。
理解することができました。

回答No.4

marcell

(1)は nが無限大に近づくと
1/n が 0 に近づくので、
sin(nθ)がどんな値をとっても
掛け算すると 0になります。

発散するケースは
nが 0に近づいた場合です。
n= 1, ... , 0.1, 0.01 となると
1/n= 1, ... , 10, 100 とどんどん大きくなるので
sin(nθ)が0になる場合を除き無限大になります。

お礼

ご返答ありがとうございます。
大変分かりやすかったです。答えが間違っているということですね。

回答No.3

tatsumi01

No. 2 のものです。
>> -1/n ≦ an ≦ 1/nで、左も右も 0 に収束するというのがよく分かりません。
言葉足らずでした。次の二つの数列を考えます。
bn = -1/n
cn = 1/n
すると
bn ≦ an ≦ cn
で、bn も cn も n→∞で 0 に収束するので an も 0 に収束します。

上の定理が使えないなら、ε-δ論法を使う方法があります。
どんな正の数εを取っても、n=[1/ε+1] に取れば ([x] は x を超えない最大の整数)
1/n < 1/(n-1) ≦ ε
になるので
|an-0| ≦ 1/n < ε
にすることができ、n→∞で an は 0 に収束します。

お礼

理解することができました！
ありがとうございました。

回答No.2

tatsumi01

(2) は No. 1 さんの回答通りです。
(1) は「発散」が答えですか？ 0に収束すると思いますが。
問題の an が「{sin(nθ)}を n で割った値」だとします（記入ミスなら別）。
-1/n ≦ an ≦ 1/n
で、左も右も 0 に収束します。

なお、「級数」については書いてないので、考えなくて良いのですね？

お礼

すみません。考えなくていいです。級数は問題のタイトルで、級数は(5)、(6)番ぐらいにありました。
問題はtatsumi01の言う通りです。答えは確かに「発散する」とかかれているのですが、ミスでしょうか？
-1/n ≦ an ≦ 1/nで、左も右も 0 に収束するというのがよく分かりません。