正項級数の収束・発散について質問です

質問

正項級数の収束・発散問題で質問です。
[問]a(k)≧0(kは自然数)という数列とし,Σ[k=1..∞]a(k)は収束するという。
この時,次の級数が収束するなら証明せよ。また発散するなら反例を挙げよ。
(1) Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)
(2) Σ[k=..∞]√(a(k)/k)
という問題です。
どのようにして解けますでしょうか?

回答No.5

noname#50894 · ベストアンサー

以下は、No.3とNo.4に対する補足です。
無限級数に関する基本がわかっていないと、
今回のこの問題の、特に反例は、簡単には出てきませんよ。

>> k^(1/k)が上に有界なので、
>> 0≦Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)≦(1+√2)Σ[k=1..∞]a(k)
>すいません。ここが分かりません。これはR∋lim[k→∞]k^(1/k)≦1+√2だから
>Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)≦Σ[k=1..∞](1+√2)a(k)と簡単に言えますかね?
>何か命題を使われたのでしょうか

正項級数Σx_k,Σy_k［x_k,y_k≧0（∀k）］について。
(A)Σy_kが収束して、x_k≦y_k（∀k）ならば、Σx_kは収束する。
(B)Σx_kが発散して、x_k≦y_k（∀k）ならば、Σy_kは発散する。

無限級数の性質として、必ず載っているます。

>a(k)=1/((k+1)(ln(k+1))^2)とおくと
>Σ[k=1..∞]√(a(k)/k)=Σ[k=1..∞]1/(√k(k+1)(ln(k+1))^2)であり,
>Σ[k=1..∞]1/((k+1)(ln(k+1))^2)とはならないので話が変わってくると思うのですが…。
最後に、計算ミスがありますが話しは変わりません。

a(k)=1/{(k+1)log(k+1)^2}
から、
√(a(k)/k)=1/[√{k(k+1)}log(k+1)]≧1/{(k+1)log(k+1)}

Σ[k=1..∞][1/{(k+1)log(k+1)}]は発散するので、√(a(k)/k)も発散する。

ところで、、
>x(k)=1/{(k+1)log(k+1)^s}[s：実数]とおくと、
>Σ[k=1,∞]x(k)はs>1のとき収束し、s≦1のとき発散する。
この命題は、有名な、解析概論の無限級数の章に載っていますので、ご参照下さい。
この結論に至るまでに、いくつか事前準備あります。

今回のこの質問をされる前に、一度真面目にお読みになった方が良いと思います。

お礼

> 正項級数Σx_k,Σy_k［x_k,y_k≧0（∀k）］について。
> (A)Σy_kが収束して、x_k≦y_k（∀k）ならば、Σx_kは収束する。
：
> Σ[k=1..∞][1/{(k+1)log(k+1)}]は発散するので、√(a(k)/k)も発散する。

大変有難うございます。漸く納得致しました。
お手数お掛け致しまして誠に申し訳有りませんでした。

> ところで、、
> >x(k)=1/{(k+1)log(k+1)^s}[s：実数]とおくと、
> >Σ[k=1,∞]x(k)はs>1のとき収束し、s≦1のとき発散する。
> この命題は、有名な、解析概論の無限級数の章に載っていますので、
> ご参照下さい。
> この結論に至るまでに、いくつか事前準備あります。
> 今回のこの質問をされる前に、
> 一度真面目にお読みになった方が良いと思います。

ご紹介誠に有難うございます。
図書館で探してみたいと思います。

回答No.4

noname#50894

> 上記命題を利用して下さい。収束する。
>すみません。どのように利用すればいいのでしょうか?

k^(1/k)が上に有界なので、
0≦Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)≦(1+√2)Σ[k=1..∞]a(k)

よって、
(1+√2)Σ[k=1..∞]a(k)は収束するので、
Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)も収束する。

…です。

お礼

すみません。お手数お掛けしてます。

> k^(1/k)が上に有界なので、
> 0≦Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)≦(1+√2)Σ[k=1..∞]a(k)

すいません。ここが分かりません。これはR∋lim[k→∞]k^(1/k)≦1+√2だからΣ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)≦Σ[k=1..∞](1+√2)a(k)と簡単に言えますかね?
何か命題を使われたのでしょうか?

> よって、
> (1+√2)Σ[k=1..∞]a(k)は収束するので、
> Σ[k=1..∞]a(k)k^(1/k)も収束する。
> …です。

所で※2についてですがあとあと考え直してみてちょっと気になる点がありました。
a(k)=1/((k+1)(ln(k+1))^2)とおくと
Σ[k=1..∞]√(a(k)/k)=Σ[k=1..∞]1/(√k(k+1)(ln(k+1))^2)であり,Σ[k=1..∞]1/((k+1)(ln(k+1))^2)とはならないので話が変わってくると思うのですが…。

回答No.3

noname#50894

a(k)=1/k は、(2)の反例にはならないようですが。

(1)
(※1)* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
h_k=k^(1/k)-1（≧0）とおくと、
k=(1+h_k)^k≧1+kh_k+{k(k-1)/2}h_k^2
k-1≧{k(k-1)/2}h_k^2

k≧2であれば、h_k≦√(2/k)［←k=1でも成立する］
従って、1≦k^(1/k)=1+h_k≦1+√(2/k)［＜1+√2］
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
収束する。
＝証明＝
上記命題を利用して下さい。収束する。

(2)以下に注目
(※2)* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
x(k)=1/{(k+1)log(k+1)^s}[s：実数]とおくと、
Σ[k=1,∞]x(k)はs>1のとき収束し、s≦1のとき発散する。
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * *
収束しない。
＝反例＝
a(k)=1/{(k+1)log(k+1)^2}とおくと、
Σ[k=1,∞]a(k)=Σ[k=1,∞][1/{(k+1)log(k+1)^2}]は収束して、
Σ[k=1,∞]√{a(k)/k}=Σ[k=1,∞][1/{(k+1)log(k+1)]は発散する。

■(※1)は{k^(1/k)}の上限を提示すれば良いことですが、
lim[k→∞]k^(1/k)=1に使えます。

お礼

レス有難うございます。

> a(k)=1/k は、(2)の反例にはならないようですが。
>
> (1)
> (※1)* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
> h_k=k^(1/k)-1（≧0）とおくと、
> k=(1+h_k)^k≧1+kh_k+{k(k-1)/2}h_k^2
> k-1≧{k(k-1)/2}h_k^2
>
> k≧2であれば、h_k≦√(2/k)［←k=1でも成立する］
> 従って、1≦k^(1/k)=1+h_k≦1+√(2/k)［＜1+√2］
> * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
> 収束する。
> ＝証明＝

h_k:=k^(1/k)-1とおくと
k=(1+h_k)^k≧kC0・1^k+kC1・1^(k-1)h_k^1+kC2・1^(k-2)h_k^2(∵2項定理)=1+kh_k+k(k-1)/2h_k^2
よってこれからk-1≧k(k-1)h_k^2/2で更に2/k≧h_k^2 (k∈N)
よって
1≦k^(1/k)=1+k^(1/k)-1≦1+k^(1/k)≦1+√(2/k)<1+√2
でk^(1/k)は有界
またk^(1/k)は単調(∵y:=k^(1/k)とおくとln(y)=1/kln(k)でkで微分すると1/ydy/dk=(1-ln(k))/k^2 ∴dy/dk=k^(1/k)(1-ln(k))/k=k^(1/k)(ln(e)-ln(k))/k^2>0))
なのでlim[k→∞]k^(1/k)∈R

> 上記命題を利用して下さい。収束する。

すみません。どのように利用すればいいのでしょうか?

> (2)以下に注目
> (※2)* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
> x(k)=1/{(k+1)log(k+1)^s}[s：実数]とおくと、
> Σ[k=1,∞]x(k)はs>1のとき収束し、s≦1のとき発散する。
> * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * *
> 収束しない。
> ＝反例＝
> a(k)=1/{(k+1)log(k+1)^2}とおくと、
> Σ[k=1,∞]a(k)=Σ[k=1,∞][1/{(k+1)log(k+1)^2}]は収束して、
> Σ[k=1,∞]√{a(k)/k}=Σ[k=1,∞][1/{(k+1)log(k+1)]は発散する。

※2の命題を利用するとはさすが知識がお広いですね。

回答No.2

guuman

kakimatigai
(1)
lim(k→∞)・k^(1/k)
は収束するかどうかとその証明を補足に書け

(2)
a(k)=1/k

補足

h_k:=k^(1/k)-1とおくと
k=(1+h_k)^k≧kC0・1^k+kC1・1^(k-1)h_k^1+kC2・1^(k-2)h_k^2(∵2項定理)=1+kh_k+k(k-1)/2h_k^2
よってこれからk-1≧k(k-1)h_k^2/2で更に2/k≧h_k^2 (k∈N)
よって
1≦k^(1/k)=1+k^(1/k)-1≦1+k^(1/k)≦1+√(2/k)<1+√2
でk^(1/k)は有界
またk^(1/k)は単調(∵y:=k^(1/k)とおくとln(y)=1/kln(k)でkで微分すると1/ydy/dk=(1-ln(k))/k^2 ∴dy/dk=k^(1/k)(1-ln(k))/k=k^(1/k)(ln(e)-ln(k))/k^2>0))
なのでlim[k→∞]k^(1/k)∈R

ですね。

回答No.1

guuman

(1)
lim(k→∞)・(1/k^k)
は収束するかどうかとその証明を補足に書け

(2)
a(k)=1/k