大学数学の過去問について

質問

「不等式log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}<1を満たすxの範囲を求めよ。」
この問題の解き方（解答）を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

nyankororing · ベストアンサー

log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}<1
真数条件より
x-1>0,　 x+7>0　 ∴x>1　―――（ア）

更に注意すべきは、
{log₃(x-1)+log₃(x+7)}　自体もまた　log₂ に対する真数となっているので、
{log₃(x-1)+log₃(x+7)}＞０　も真数条件としなければならない。　

見やすくするために、　{log₃(x-1)+log₃(x+7)} =A　と書くと、A>0 ―――（イ）

真数条件（ア）（イ）のとき、本問は、

　「log₂A＜1 を満たす　ｘを探せ」となる。これは、

　　log₂A＜log₂2　と同じ。　　　　　　【註、1＝log₂2】

対数の底＝2　>1より、対数の値の大小は真数の大小と同じになるから
　　　　A<2　
ここに、（イ）を考慮して、結局、
　　　0<A<2　　　を解くことになる。　0=log₃1 、 2=log₃9　だから、

　0<A<2　は、　log₃1<A<log₃9　となり、　Aを元の式に戻して書くと、　

　log₃1<　log₃(x-1)+log₃(x+7)　<log₃9　　即ち

　log₃1<　log₃{(x-1)(x+7)}　<log₃9

対数の底＝3　>1　より、対数の値の大小は真数の大小と同じになるから

　1< (x-1)(x+7) < 9　　これは次の２つの連立不等式　（ウ）（エ）だから、

　1<(x-1)(x+7)　―――（ウ）　　　
　(x-1)(x+7)<9　―――（エ）

（ウ）を解いて、　x<-3-√17　または　-3+√17<x
（エ）を解いて、　-8<x<2
この両者の共通部分が連立の解だから、最初の条件（ア）を考慮して、
結局、
　-3+√17< x< 2　―――最後の答。
――――――――――――――――――――　
注意　-3+√17＝1.1230....　であり、1よりわずかに大きい値です。
　　　1<x　とヒッカケさせる、この問題は、そこがミソでしょう。
　　　イヂワル問題でした。
なお、info22　さんの解答は、左端の　log₂　が考慮されてなく、
　　　log₃　と混同していると思われます。
　（検算してないので、計算ミスがあったら御免。方針は間違って無いはずです）

回答No.6

alice_44

A No.3 を、よく読んだほうがいい。

回答No.5

info22_

>No.2です。

ANo.2にミスがありましたので訂正します。

> x>1
>log₃(x-1)+log₃(x+7)=log₃((x-1)(x+7))<1=log₃(3)　←ミス
正：log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}=log₂{log₃((x-1)(x+7))}<1=log₂(2)
対数の底2>1より対数の大小は真数の大小となるから
log₃((x-1)(x+7))<2=log₃(9)
>対数の底3>1より対数の大小は真数の大小となるから
(x-1)(x+7)<9
>0<(x-1)(x+7)<3 ...×
正：(x-1)(x+7)<9
括弧をはずして
>x^2+6x-10<0 ...×
正：x^2+6x-16=(x-2)(x+8)<0
x>1より　x+8>0であるから　x-2>0
>　∴1<x<3+√19 ...×
x>1より
正 ∴ 1<x<2 ←(答え)

＃nyankororingさん指摘ありがとう。
2重logを(底がよく見えなかったこともあり)うっかり１重logと勘違いしてました。

回答No.4

alice_44

log[2]{ log[3](x-1) + log[3](x+7) } < 1
なんですか？
依然「?」が何かは、ウチでは見えないけど…

だったら、前述の如く
⇔ x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ log[3]{ (x-1)(x+7) } < 2^1
⇔ x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ (x-1)(x+7) < 3^2
ですね。

(x-1)(x+7) < 3^2
⇔ x^2 + 6x - 7 < 9
⇔ x^2 + 6x - 16 < 0
⇔ (x+8)(x-2) < 0
⇔ -8 < x < 2

だから、答えは
x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ -8 < x < 2。
すなわち、1 < x < 2。

…じゃないか、log[2] の真数条件
log[3](x-1) + log[3](x+7) > 0 がある訳ね。
ええ、引っかかりましたとも。
どこの過去問かな…

回答No.2

info22_

log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}<1
真数条件より
x-1>0, x+7>0 ∴x>1
x>1のとき
log₃(x-1)+log₃(x+7)=log₃((x-1)(x+7))<1=log₃(3)
対数の底3>1より対数の大小は真数の大小となるから
0<(x-1)(x+7)<3
x^2+6x-10<0
x>1より
　∴1<x<3+√19 ←(答え)

回答No.1

alice_44

その書き方だと、log の底が文字化けして読めないのだけれど…

真数条件を考慮して
⇔ x-1 ＞ 0 かつ x+7 ＞ 0 かつ log?( log?( (x-1)(x+7) )) ＜ 1
⇔ x-1 ＞ 0 かつ x+7 ＞ 0 かつ (x-1)(x+7) ＜ (?の?乗)
と変形し、二次不等式を解けばいい。