緊急、数学の問題です。解き方を教えてください。

質問

0º≦x≦180◦の条件 下で、不等式log2│cos2x│≦log4（3 sinx）+log4（cosx）を満たすxの範囲 を求めよ。 □□≦x≦□□。 但しx≠□□です。

底を合わせるところまではあってるでしようか…
宜しくお願いいたします。

回答No.1

noname#164104

まず右側の底は両方とも４ですのでlog4(3sinx)(cosx)と直せます。
順番はどちらが咲きでもかまいませんが底を合わせてください。
４→２に変えた場合右辺の分母が２となりますから両辺に２をかけて、
2log2(cos2x)≦log2(3sinx)(cosx)
となります。

左辺の係数の２が邪魔ですので
2log2(cos2x)をlog2｛(cos2x)^2｝という感じでlog2の後ろをcos2xの２乗に直してください。
（＊（）＾２というのはその前の括弧の２乗ということです）

log2｛(cos2x)^2｝≦log2(3sinx)(cosx)
そうすると両辺がlog2になりますよね？？？

底が両方とも同じときはlog2（今回は底が２なので２ですが、log5とかでもOKです）
がはずせるので、
(cos2x)^2≦(3sinx)(cosx)
となります。

あとはこれを普通に三角関数のように計算してください。

それから≠の問題ですが、
真数条件というものです。
log2(cos2x)≦log2(3sinx)+log2(cosx)
という式が最初の式でしたが、
真数は０よりも大きいという式を立てます。
＊本当はこの検証を一番初めにやっておくべきです。

(cos2x)>0,(3sinx)>0,(cosx)>0という３つの式を検証します。
全部‘かつ’で条件を調べてください。
最初に足し算を掛け算に直してひとつのlogにいれましたが、
この前に行わないと条件が変わってきます。

ちょっと分かりにくいですが、この条件を使うと
□□≦x≦□□ではなくて、
□□≦x<□□こういう条件の式が出てきます。（右辺の＝がない状態です）

なので、回答で求められている形でだすと、≠が必要になってくるのです。

よって、 □□≦x≦□□の右と≠□□の値は同じものがでてきます。

最後にひとつカテがちがいます。
ここに書き込むと数学に恋したのですかとかいわれそうです・・・・