防衛医大 1999年の数学の過去問です。

質問

x に関する不等式 √x＋2＞ax＋b の解が －2≦x＜2 となるような正の数a，bの和 a＋b のとりうる値の範囲を求めよ。

という問題です。解答を教えていただけないでしょうか。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

「記述式の解答が知りたいです。」とのことですが、
記述式であれば、なおさら図は描いた上で回答しなければなりません。

ただ、その図の中でポイントとなるのは、
1) 先の回答でも書いているとおり、a＞ 0, b＞ 0より、直線：y＝ ax+ bのもつ特徴（傾きと y切片）をつかむ

2) 不等式の解は「曲線が直線よりも上にある xの範囲」として与えられるので、
x＜ 2となるためには直線が点(2, 2)を通らなければならない。
（もしこの点を通らなければ、不等式の解となる範囲が変わってしまう）
ここが一番のポイントになるかもしれません。

3) そして、-2≦ xの範囲は単に直線が点(-2, 0)よりも下を通ればいいことを示す。
（そもそも曲線の定義域の下端であることに注目）

たとえば、点(-2, 0)と点(2, 2)を通る直線を引いて、
その直線を傾けていくことをイメージしてみてください。
ただし、2)の条件より点(2, 2)を常に通るようにします。

傾けていくと、y切片が 0になるところにいきあたります。
1)の条件から y切片の条件を考えると、傾けることのできる限界がここであることがわかります。

あとは、a+ bの値が直線上の点(1, a+b)の y座標として現れていることに気がつけば、範囲が求まります。

お礼

たびたび回答していただき、本当にありがとうございます。
< 記述式なら、なおさら図で示さないといけない
その通りです。もっと勉強します。
こんなにも書いていただいて、やっと理解できました。
分かりやすい説明、とても感謝しています。
ありがとうございました。

回答No.6

mister_moonlight

簡単だが、考えるところがあって、良問と言って良いだろう。置き換えると良い。

√(x＋2)＝α　とすると　α≧0　‥‥(1)、x＝α＾2-2.
従って、条件の不等式は　f(α)＝aα＾2-α＋(b-2a)＜0　‥‥(2)
又、－2≦x＜2 だから　0≦α＾2＜4　‥‥(3)。(1)と(3)から　0≦α＜2　‥‥(4)
(4)の解が(2)を満たすから、((4)の右端に等号がついてない事に着目する)　f(2)＝0、and、f(0)＜0　‥‥(※)
つまり、b＝2(1-a)＞0、b-2a＜0　だから　1/2＜a＜1　‥‥(5)
従って、a＋b＝2-a　だから、これは傾きが負のaの一次関数より　(5)から　1＜2-a＜3/2　つまり　1＜a＋b＜3/2。

この問題のポイントは、置き換えと共に　(※)の部分にある。
考え方は、方程式の解の配置の問題に通じる。

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
なるほど、置き換えと(※)がポイントなのですね。
しっかりと記述していただいて、ありがたいです。
ぜひ、記述の解答の際の参考にさせていただきたいです。
よろしいでしょうか？
ありがとうございました。

回答No.4

f272

図が小さ過ぎたのでもう一度
y=√(x+2)が青色の線
y=ax+bが赤色の線

条件から
y=√(x+2)よりもｙ=ax+bが下にある。
ｙ=ax+bのはx<-2でy=√(-2+2)より小さい。
ｙ=ax+bのはx>2でy=√(2+2)より大きい。
ｙ=ax+bのy切片は正。

a+bはｙ=ax+bのx=1の時のy座標

これだけあればわかるだろう。

お礼

再度、解答ありがとうございます。
先ほどはすみませんでした。
スマートフォンなのですが、図が表示されなくて、トンチンカンなことを言ってしまいました。
やはり、図にしてみるといいのですね。
しかし、なぜ1＜a＋b＜3/2になるのでしょうか。
もし、よろしければ、記述式の解答が知りたいです。
意見してくださったにも関わらず、本当に申し訳ないです。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

両辺を 2乗して、2次方程式にして・・・と考えたくなるところですが、
#2さんが描かれているように、グラフにして考えた方がよいと思います。

曲線：y＝√(x+ 2)、直線：y＝ ax+ bの位置関係を考えていきます。
aが正ということは「傾きが正」、bが正ということは「y切片が正」となりますね。
そして、a+ bは x＝○のときの値ですから・・・

お礼

解答ありがとうございます。
そうですか、図に表してみましたが、やっぱりわかりませんでした。
もしよろしければ、記述式の解答が知りたいです。
意見していただいたのに、申し訳ないです。

回答No.2

f272

図にしてみた。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

解答ありがとうございます。
図で表すとわかるということでしょうか？
問題のヒントにもそうかかれていましたが、わかりませんでした。
あと、解答は、1＜a＋b＜3/2でした。
そこまでの道筋がわからないです。

回答No.1

uuu-chan

問題間違えてませんか？
式中に√xがあるので0≦xでは？

お礼

解答ありがとうございます。
答えは、1＜a＋b＜3/2 なのですが、考え方がわからなくて質問させていただきました。

補足

すみません。
√ の中身は "x" ではなくて、"x＋2" です。
見にくくてすみませんでした。