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対数不等式
対数の不等式の問題で２題分からない問題があるのですが (log_{2}x)^2－2log_{4}x^3＋2＝0 この不等式を解く問題なのですが解答はｘ＝２，４と載っているのですが 私が解いて見てもｘ＝２しか出てきません。 どうすればｘ＝２，４と出るのでしょうか？ また log_{x}(4x-3)＞2 という問題なのですが。私の答えは 3/4＜x＜1 , 1＜x＜3 , 3＜x となったのですが、解答には 3/4＜x＜1 , 1＜x＜3 しか書いていません。なぜ 3＜x は入らないのでしょうか？ 一度に２題も質問してすいません。 教えて下さい。お願いします
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emiyanさん、こんにちは。 指数・対数不等式は、ややこしいですよね。 ＞(log_{2}x)^2－2log_{4}x^3＋2＝0 この不等式を解く問題なのですが解答はｘ＝２，４と載っているのですが 私が解いて見てもｘ＝２しか出てきません。 こういう問題では、低をそろえて考えればいいです。 分かりやすくするために、log_{2}x=Xと置きましょう。 さて、2log_{4}x^3の部分ですが、低が４になっているので、低を２にそろえると 2log_{4}x^3=2log{2}x^3/log{2}4 =2*3log{2}x/2 =3X と置けますね。 したがって、最初の式は (log_{2}x)^2－2log_{4}x^3＋2=X^2-3X+2 =(X-1)(X-2)=0 よって、X=1,2 X=1のとき、log{2}x=1ですから、x=2 X=2のとき、log{2}x=2ですから、x=4と求められます。 ＞log_{x}(4x-3)＞2 最初に、4x-3>0でなければならないから、x>3/4 まず、低ｘによって場合分けしましょう。 x>0のとき、 x^2>(4x-3) x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0 x<1,3<x ここで、最初に書いたように、x>3/4という条件があるので、3/4<x<1・・（１） 次に、x<0のとき x^2<(4x-3) x^2-4x+3<0 (x-1)(x-3)<0 1<x<3・・・（２） （１）（２）より、求める範囲は3/4<x<1,1<x<3となります。 emiyanさん、頑張ってくださいね。
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下の解の中で (log_{2}x)^2＝２(log_{2}x) としているところがまずいです。 x^2なら２を前に出せますが、いまは違いますね。 (log_{2}x)＝X とでも置いてください。 Xの２次方程式になります。
お礼
ojamanboさん、早くて的確なお返事ありがとうございます。 (log_{2}x)＝Xと置いて解くと解けました。 本当にありがと御座いました。
最初の問題では底を２にそろえればできると思いますが どうやって解いたかを書いてみてください。 ２つ目は底が１より大きいときと小さいときで違ってきますから その場合わけが必要ですね。 ｘ＞３が出てくるのはｘが１より小さい場合で不適です。
補足
ありがとうございます！２つ目の方は分かりました。 えっと、一番目の問題なのですが 私は (log_{2}x)^2-(log_{4}x^3)^2+2=0 (log_{2}x)^2-2log_{4}x^3=-2 2log_{2}x-2(log_{2}x^3)/2=-2 2〔log_{2}x-(log_{2}x^3)/2〕＝-2 log_{2}x-(log_{2}x^3)/2=-1 log_{2}(2/x^2)=log_{2}2^-1 2/x^2=1/2 x^2=4 x=±2 x＞0より x=2 と解いたのですが。見ずらくてすいません。
お礼
fushigichanさん、こんにちは 本当に分かりやすい説明ありがとうございました。 指数・対数の分野は難しくて頭がごちゃごちゃに なってしまいますが、一生懸命頑張りたいと思います。 本当に有り難う御座います。