関数方程式について

質問

２次式　f(x) が　2f(2x)-f(x)=42x^2-18x-12 を満たすとき、f(x) を求めたい。
f(x)=ax^2+bx+c と置かないで求めたいのですが、うまい方法があったら教えてください。
また、もしこのような問題についての参考書があれば教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

xの2次、1次,　0次の項の係数がそれぞれ何倍になっているかを調べて、
その倍数で右辺のそれぞれ各次の項の係数を割れば良いから
f(x)=(42/(8-1))x^2-(18/(4-1))x-(12/(2-1))
=6x^2-6x-12
となります。

回答No.6

htms42

＞f(x)=ax^2+bx+c と置けば求められるのですが

ではなくて

f(x)=ax^2+bx+c
であるということが決まってしまうのではないでしょうか。

おまけ
ｘ＝０と置くと、f(0)＝－１２
微分してｘ＝０と置くと、f'(0)＝－６
もう一度微分してｘ＝０と置くと、f"(0)＝１２
これよりも高次の微分係数はすべて０ですから
f(x)=ax^2+bx+c
であることが決まってしまうと考えてもいいでしょう。
ａ，ｂ，ｃも決まります。

回答No.5

htms42

なぜ、
＞「f(x)=ax^2+bx+c と置かないで求めたい」
と考えられたのでしょうか。

どういう点に不満、不都合を感じられたのでしょうか。

補足

もともと、∫(a→2a)f(x)dx=14a^3-9a^2-12a を満たすf(x)を求める問題でした。f(x)=ax^2+bx+c と置けば求められるのですが、x-a=t と置換したくなる形なので置換してみると、問題のような方程式になりました。そういうことで、一般形に置かないで求めたかったのです。私のレベルが低すぎて、恥ずかしい質問でした。

回答No.4

alice_44

多項式から多項式への写像 f(x) → 2f(2x)-f(x) が
線型写像であることに注目すれば、
質問の例題は、連立一次方程式を解く問題
と考えることができる。

…と言うと、
未知数を文字で置くのは当然となりそうだが、

この一次方程式を 1,x,x2乗 を基底として
成分表示すれば、最初から対角化されてるので、
暗算で解くことができる。

頭記の線型写像の逆写像が一瞬で求まるので、
未知数を置くまでもなく解が得られるのだった。
あとは、答案の文章の書き方次第だよねえ。

回答No.3

178-tall

本質的に「無理」みたい。

たとえば、
　f(x) = G(x) + U(x)
と、偶部 G(x) と 奇部 U(x) に分和割すると…？

　G(2x) = 4*G(x) - 3*G(0)
　U(2x) = 2*U(x)
なので、
　2f(2x) - f(x) = { 7*G(x) - 6*G(0) } + 3*U(x)
　= {42x^2 - 12} - 18x

…などとしても、本質的に

>f(x)=ax^2+bx+c と置かないで求めた

ことではなさそう。

回答No.1

yama891

小学館＆講談社＆産経社＆読売。？