導関数の証明？

質問

高校数学IIからの質問です。
導関数の求め方で、例えば２次関数f(x)=ａX~2＋ｂX＋Ｃをf'(x)=２ａX＋ｂにするやり方がありますが、これって平均変化率の極限を考えての経験則のようなものでしょうか？参考書に証明が書かれていないもので。
宜しくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>参考書に証明が書かれていないもので。

ならば自分で証明すればいいのです．
数学には「経験則」は存在しません．

証明は極めて簡単．
(1)'=0
(x)'=0
(x^k)'=kx^{k-1}を仮定して，
(x^{k+1})'を「積の微分」で計算すればよい．

今の高校生なら，数Aだったかどっかで二項定理が出てる気がしたから
二項定理でもすぐに証明できる
(x+h)^n-x^n を実際に展開して，hで割って極限を出せば終わり
この証明だと微分が「一次近似」だということは見えるので
その意味では教育的な方法かな

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、納得しました。
ありがとうございます。

回答No.3

age_momo

さすがにどんな教科書でも

x^n=nx^(n-1)

と、その証明ぐらいは書いてあると思うのですが、疑問点はそこなのでしょうか？
回答者には教科書に書いてあるかないかや質問者さんが引っかかっている点も
質問者さんが書かないと分かりません。その意味で自分が何を分かっていて、
分からないのが何なのかきちんと理解して質問しないと答えるほうも
要点が絞れません。自然と全体的に書くしかなくなります。
この質問でも質問者さんが疑問に思っていそうな点が複数思いつきます。
本来はどこまでは理解していて何に疑問を感じているのかを書くべきです。
仕方ないので全体的に書いておきます。

とりあえず、証明ということなので

>２次関数f(x)=ａX~2＋ｂX＋Ｃをf'(x)=２ａX＋ｂにするやり方

に絞って証明してみます。その前に導関数の定義として

f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h

はいいですね。ここから

{x^2}'=lim[h→0]{(x+h)^2-x^2}/h=lim[h→0](2x+h)=2x
{x}'=lim[h→0]{(x+h)-x}/h=1
{1}'=lim[h→0](1-1)/h=0

次に

g(x)=a*f(x)とおくと

{a*f(x)}'=g'(x)=lim[h→0]{g(x+h)-g(x)}/h=lim[h→0]{a*f(x+h)-a*f(x)}/h
=a*lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=a*f'(x)

ここから

(ax^2)'=a*(x^2)'=2ax
(bx)'=b*(x)'=b
(c)'=c*(1)'=0

最後に

p(x)=f(x)+g(x)とおくと

p'(x)=lim[h→0]{p(x+h)-p(x)}/h=lim[h→0][f(x+h)+g(x+h)-{f(x)+g(x)}]/h
=lim[h→0][{f(x+h)-f(x)}/h+{g(x+h)-g(x)}/h]=f'(x)+g'(x)

よって

{ax^2+bx+c}'=(ax^2)'+(bx)'+(c)'=2ax+bx

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧な解説、大変参考になりました。

回答No.1

tama1978

導関数ということは、簡単に言うと、f(x)のｘについて微分することです。
つまり
f(x)＝x^3　を微分すると　f(x)＝3x^2
f(x)＝x^2　を微分すると　f(x)＝2x
f(x)＝x　　を微分すると　f(x)＝１
f(x)＝C　　を微分すると　f(x)＝０
（C:定数）
です。

これで理解できますか？

お礼

回答ありがとうございます。
それはわかるんですが、なぜそういう規則が成立するのか不思議なんです。