2つの関数f(x)=x^4 -x、

質問

g(x)=ax^3 +bx^2 +cx +dがf(1)=g(1)とf(-1)=g(-1)をみたすとき、積分∫[-1～1]{f(x)-g(x)}^2 dxを最小にするa、b、c、dの値を求めよ

f(1)=g(1)とf(-1)=g(-1)からa+c=-1、b+d=1
f(x)-g(x)=x^4 -ax^3 -bx^2 +ax +b -1
なのは分かりますが、これを二乗して積分しようとすると非常に長い式になり、また、解くことも出来ません
解き方を教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

積分区間の対称性から
{f(x)-g(x)}^2の展開式の奇関数部(xの奇数べき乗項の和）の積分はゼロ、偶関数部(xの偶数べき乗項の和）h(x)の積分は区間[0～1]のh(x)の積分の2倍となることを利用して積分すればよい。そうすれば計算が少しは楽になるでしょう。

I=∫[-1～1]{f(x)-g(x)}^2 dx
=∫[-1～1](x^4-ax^3-bx^2+ax+b-1)^2 dx
=2∫[0～1] h(x) dx
h(x)=x^8+(a^2-2b)x^6+(b^2+2b-2a^2-2)x^4
+(a^2-2b^2+2b)x^2+(b-1)^2
なので、これを代入して積分
I=(16/315)(3a^2+21b^2-48b+28)
=(16/315){3a^2+21(b-(8/7))^2+(4/7)}
=(16/315){3a^2+21(b-(8/7))^2}+(64/2205)
≧64/2205
最小値「64/2205」をとるときは
a=0,b=8/7
のときである、この時のc,dは

> a+c=-1、b+d=1
より
　c=-1, d=-1/7

となる。

[チェック]計算は合ってると思いますが、
計算ミスしてるかもしれないので、自身で計算をして確認してみて下さい。

お礼

わかりました
ありがとうございました！

回答No.1

spring135

＞これを二乗して積分しようとすると非常に長い式になり、また、解くことも出来ません

２乗して展開するとｘの８次式となりますが

∫[-1～1]x^2ndx=2/(2n+1)

∫[-1～1]x^(2n+1)dx=0

を使うと（つまり偶数乗項だけがのこ地、奇数乗項は消える）

I=∫[-1～1]{f(x)-g(x)}^2 dx=2[1/9+(a^2-2b)/7+(b^2-2(b-1)-2a^2)/5+(a^2-2b(b-1))/3+(b-1)^2]

aは２乗の項だけで係数は最終的に8/105＞0

よってIを最少にするのはa=0

bの項は(56b^2-113b)/105

が残ります。

これを最小にするのは

b=113/112

c=-1

d=-1/112

急いで計算しました。計算違いもあり得ます。確認してください。

補足

回答ありがとうございます
答えは
b=8/7
c=-1
d=-1/7
でしたが、何が違うのでしょうか