不等式の証明と命題の真偽(基本的)
お世話になっております。
実数a、b、cに対して、
等式 |a|+|b|+|c|=|a+b+c|…P が成立つことは、ab+bc+ca≧0 …Q が成立つための○○条件である。(○の数は特に意味なし)
という問題です。証明も合わせて(不等式を証明して、等号成立条件を調べてから命題を考えてみたかった為)以下のように考えてみました。
まず証明。
与えられた等式を考える前に、不等式
|a|+|b|+|c|≧|a+b+c|…(2)を証明する。
(2)の両辺は正または0であるから、両辺の二乗の差を考えて
(|a|+|b|+|c|)^2-|a+b+c|^2
=2{|ab|+|bc|+|ca|-(ab+bc+ca)}
=2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)}…(3)
ここで、|ab|≧ab,|bc|≧bc,|ca|≧ca だから、(3)≧0。従って不等式(2)は成立つ。等号成立は、ab≧0,bc≧0,ca≧0…(4) より、ab+bc+ca≧0 の時に限る。
よって、等式Pが成立つとき、a,b,cはQを満たす。(ここが一番曖昧です)
逆にQが成立つとき、(4)が成立つから、積の場合分けで導かれる二つの場合で、
a≧0かつb≧0かつc≧0 のときは、Pは成立つ。
a≦0かつb≦0かつc≦0 のときはPは、
左辺=-a-b-c=-(a+b+c)=右辺 より成立つ。
以上より、○○は必要十分条件が適当と思す。
以上、拙いですが頭捻ってみました。当方が微妙だと感じるのは、不等式の証明についての説明部分(解答ではb+cを一括りにしてaと(b+c)の二変数と考えて、二変数については不等式が成立つことを利用して証明してました)と、既に書いた通り、条件Pが十分条件であることの説明部分(こちらは解答なし)です。
長ったらしい文で恐縮ですが、閲覧ついでにご回答いただけると嬉しいです。宜しくどーぞ。
お礼
リンク先を参考にさせていただき、自分なりに考えて納得できました。 回答ありがとうございました。