ベクトルで解く問題

質問

空間内の、同一直線状にない４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄに対して
　　　　　　2　　　　　　　　2　　　　　　　2
（ＡＢ＋ＣＤ）＋（ＢＣ＋ＤＡ）≧（ＡＣ＋ＢＤ）
であり、等号はＡＢＣＤが長方形の場合に限り成立する。

例題でベクトルＡＢ＝ベクトルα
　　　ベクトルＢＣ＝ベクトルβ
　　　ベクトルＣＤ＝ベクトルγ
　　　ベクトルＤＡ＝ベクトルσとおいて解いていました。
よろしくお願いします。

回答No.2

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】
空間内の、同一直線上にない4点A,B,C,Dに対して、
　(AB+CD)+(BC+DA)≧(AC+BD)^2 … (*)
であり、かつ、等号は、□ABCDが長方形のときに限って成立することを証明せよ。

【証明】
　→AB=→α
　→BC=→β
　→CD=→γ
　→DA=→δ
とすれば、
　(AB+CD)^2+(BC+DA)^2
　=(|→α|+|→γ|)^2+(|→β|+|→δ|)^2
　=|→α|^2+|→γ|^2+2|→α||→γ|+|→β|^2+|→δ|^2+2|→β||→δ|
　=(→α)^2+(→γ)^2+2|→α||→γ|+(→β)^2+(→δ)^2+2|→β||→δ|
また、
　→AC=→AB+→BC=→α+→β
　→BD=→BC+→CD=→β+→γ
だから、
　(AC+BD)^2
　=(|→AC|+|→BD|)^2
　=(|→α+→β|+|→β+→γ|)^2
　=|→α+→β|^2+|→β+→γ|^2+2|→α+→β||→β+→γ|
　=(→α+→β)^2+(→β+→γ)^2+2|→α+→β||→β+→γ|
　=(→α)^2+(→β)^2+2→α・→β+(→β)^2+(→γ)^2+2→β・→γ+2|→α+→β||→β+→γ|
ゆえに、
　(AB+CD)^2+(BC+DA)^2-(AC+BD)^2
　=(→δ)^2-(→β)^2+2|→α||→γ|+2|→β||→δ|-(2→α・→β+2→β・→γ+2|→α+→β||→β+→γ|) … (1)
ところで、
　→α+→β+→γ+→δ=→0
　∴ →α+→β=→γ+→δ
　∴ (→α+→β)^2=(→γ+→δ)^2
　∴ (→α)^2+(→β)^2+2→α・→β=(→γ)^2+(→δ)^2+2→γ→δ
　∴ (→δ)^2-(→β)^2-2→α・→β=(→α)^2-(→γ)^2-2→γ・→δ
これを、(1)に代入すれば、
　(AB+CD)^2+(BC+DA)^2-(AC+BD)^2
　=(→α)^2-(→γ)^2-2→γ・→δ-2→β・→γ+2|→α||→γ|+2|→β||→δ|-2|→α+→β||→β+→γ|
　=(→α)^2-(→γ)^2-2→γ・(→δ+→β)+2|→α||→γ|+2|→β||→δ|-2|→α+→β||→β+→γ|
　=(→α)^2-(→γ)^2-2→γ・(-→α-→γ)+2|→α||→γ|+2|→β||→δ|-2|→α+→β||→β+→γ|
　=(→α)^2-(→γ)^2-2→γ・(-→α-→γ)+2|→α||→γ|+2|→β||→δ|-2|→α+→β||→β+→γ|
　=(→α+→γ)^2+2|→α||→γ|+2|→β||→δ|-2|→α+→β||→β+→γ|
ここで、トレミーの定理から、
　|→α||→γ|+|→β||→δ|≧|→α+→β||→β+→γ|,（等号は、□ABCDが、円に内接するときに限って成立する。）
であるから、不等式(*)が証明された。また、等号は、□ABCDが円に内接し、かつ、→α=-→γのとき、すなわち、□ABCDが、長方形のときに限って成立する。　q.e.d.

参考URL：

http://www.zkai.co.jp/home/shingaku/kyoudai/02aki/toremia.html

回答No.1

Mell-Lily

→AB=→α
　→BC=→β
　→CD=→γ
　→DA=→δ
とすれば、
　→AC=→AB+→BC=→α+→β
　→BD=→BC+→CD=→γ+→δ
であるから、
　(AC+BD)^2
　=(|→AC|+|→BD|)^2
　=(|→α+→β|+|→γ+→δ|)^2
　=|→α+→β|^2+|→γ+→δ|^2+2|→α+→β||→γ+→δ|

補足

あの、よくわからないのですが。
７行目はBD＝β＋γではないですか？