高校ベクトルの問題

質問

OA=4,OB=3,AB=6である三角形OABがあり、その重心をGとする
(１)ベクトルOAとベクトルOBの内積をもとめよ
(２)線分OGの長さを求めよ
(３)点Gを通り、直線OGに垂直な直線と直線OA,OBの交点をそれぞれD,Eとする
（i）ベクトルOD=ｓベクトルOA、OE＝ｔベクトルOBとなる実数s、tの値を求めよ
（ii）DG:GEを求めよ。
わかりやすくお願いします。

回答No.2

noname#231363

考える訓練のための、ベクトルの成分による別解（力技？）です。
なお、ベクトルOAを→OAと表します。（他も同様）

(1)
三角形OABにおいて、余弦定理から、
AB^2=OA^2+OB^2-2×OA×OB×cos(∠AOB)
であるから、
OA×OB×cos(∠OAB)
=(OA^2+OB^2-AB^2)/2
=(4^2+3^2-6^2)/2
=-11/2
よって、→OA・→OB= OA×OB×cos(∠AOB)=-11/2

(2)
(1)から、cos(∠AOB)= -11/(2×4×3)=-11/24
xy平面上において、三角形OABの頂点Oを原点(0,0)、頂点Aを(4,0)、頂点Bを(x1,y1)とすると、
x1=3×cos(∠AOB)=-11/8、y1＞0とし、三平方の定理から、x1^2+y1^2=3^2=9
三角形OABにおいて、辺ABの中点をMとすると、
→OM=→OA+→AB/2=→OA+(→OB-→OA)/2=(→OA+→OB)/2
→OG=2→OM/3=(→OA+→OB)/3
→OA+→OB=(4,0)+(x1,y1)=(x1+4,y1)
|→OG|^2
={(x1+4)^2+y1^2}/3^2
=(x1^2+8x1+4^2+y1^2)/3^2
=(9-11+16)/3^2
=14/3^2
よって、OG=√14/3

(3)
点Gの座標は((x1+4)/3,y1/3）
→OG=((x1+4)/3,y1/3）であるから、これに垂直なベクトルを(-y, x1+4)と考えることができます。
(i)
→OD
=→OG+m(-y1, x1+4)
=((x1+4)/3,y1/3)+m(-y1, x1+4)
=s(4,0)（mとsは実数）
と表し、y成分に着目すると、
y1/3+m(x1+4)=0
m=-y1/3(x1+4) (x1+4=21/8＞0)－(ア)
また、x成分に着目すると、
(x1+4)/3-my1=4s
これに式(ア)を代入すると、
(x1+4)/3+y1^2/3(x1+4)=4s
s={(x1+4)^2+y1^2}/12(x1+4)=14/(12×21/8)=4/9

→OE
=→OD+n(-y1, x1+4)
=(4/9)(4,0)+n(-y1, x1+4)
=t(x1,y1)（nとtも実数）
と表し、y成分に着目すると、
n(x1+4)=ty1
n=ty1/(x1+4)－(イ)
また、x成分に着目すると、
16/9-ny1=tx1
これに式(イ)を代入すると、
16/9-ty1^2/(x1+4)= tx1
{x1+y1^2/(x1+4)}t=16/9
{x1(x1+4)+y1^2}t/(x1+4)=16/9
(x1^2+4x1+y1^2)t/(21/8)=16/9
(9-11/2)t/(21/8)=16/9
(7/2)t/(21/8)=16/9
t=16/9×2/7×21/8=4/3
これを式(イ)に代入すると、
n=4y1/3(x1+4)

(ii)
(i)において、x1+4=21/8＞0、y1＞0であるから、m＜0、n＞0
|m|=-m= y1/3(x1+4)
DG：GE=|m|：(n- |m|)= y1/3(x1+4) ：y1/(x1+4)=1：3

※
ベクトル式の変形（計算）に習熟していれば、ANo.1のご回答のように考える方が簡単ですが、ベクトルの成分で考えるのも一つの手です。
この解法は、面倒だとは思いますが、y1の値は求めないで済みます。
（x1^2+y1^2=9の関係を利用）
また、(3)の(i)の答えと(ii)の答えを、並行して求められます。
なお、(3)の(i)において、
→OE
=→OG+n(-y1, x1+4)
=((x1+4)/3,y1/3) +n(-y1, x1+4)
=t(x1,y1)（nとtも実数）
と表しても、nとtの値は求められますが、y成分が0となるベクトルがないので、nとtについての連立方程式を解くのが複雑になります。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

(1)
AB=6 より | AB↑ |^2 = 36
| OB↑ - OA↑ |^2 = 36
| OB↑ |^2 - 2 OA↑・OB↑ + | OA↑ |^2 = 36
9 - 2 OA↑・OB↑ + 16 = 36
OA↑・OB↑ = -11/2 …（答）

(2)
OG↑ = (1/3) (OA↑ + OB↑) より
9 | OG↑ |^2 = | OA↑ + OB↑ |^2 = | OA↑ |^2 + 2 OA↑・OB↑ + | OB↑ |^2 = 16 - 11 + 9 = 14
| OG↑ |^2 = 14/9 より OG = √14 / 3 …（答）

(3) (i)
OG ⊥ DG より OG↑ ・ DG↑ = 0
OG↑ ・ (OG↑ - OD↑) = 0
| OG↑ |^2 - OG↑・OD↑ = 0
ここで
| OG↑ |^2 = 14/9
OG↑・OD↑ = (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) ・s OA↑ = (s/3) ( | OA↑ |^2 + OA↑・OB↑ ) = (s/3) (16 - 11/2) = (7/2)s
よって
14/9 - (7/2)s = 0 より s = 4/9 …（答）

OG ⊥ EG より OG↑ ・ EG↑ = 0
OG↑ ・ (OG↑ - OE↑) = 0
| OG↑ |^2 - OG↑・OE↑ = 0
ここで
| OG↑ |^2 = 14/9
OG↑・OE↑ = (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) ・t OB↑ = (t/3) ( OA↑・OB↑ + | OB↑ |^2 ) = (t/3) (-11/2 + 9) = (7/6)t
よって
14/9 - (7/6)t = 0 より t = 4/3 …（答）

(ii)
DG↑ = OG↑ - OD↑ = (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) - (4/9) OA↑ = (-1/9) OA↑ + (1/3) OB↑
GE↑ = OE↑ - OG↑ = (4/3) OB↑ - (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) = (-1/3) OA↑ + OB↑
よって
3 DG↑ = GE↑ より DG : GE = 1 : 3 …（答）

でしょうか。

お礼

ありがとうございました。OG⊥DEから、s、tの式を作り、もう一つのs,tの式を見つけられずに困ってました。頭堅いですね。