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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:極限)

極限値の条件と誤りの指摘

このQ&Aのポイント
  • xが0にかぎりなくちかづくとき、{√(1+x)-(1+ax+bx^2)}/x^3が有限な極限値を持つためには、定数a、bはいかなる値を取らねばならないか。この問題は、与えられた式を変形して考えることで解答することができます。
  • 与えられた式を変形して考えると、式はy表記に変換されます。yをxの逆数とすると、与式はy^2√(1+1/y)-(y^3+ay^2+by)となります。この式が収束するための条件を求めるために、yがy→∞のときに収束する必要があります。
  • 与式の変形を進めると、(1/2-a)y^2-byとなります。yがy→∞のときに収束するためには、この式が有限値を持つ必要があります。それにより、条件としてa=1/2,b=0が求まります。回答中のa=1/2,b=-1/8は誤りです。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22_
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回答No.3

No.2です。 ANo.2の補足の質問についての回答 >>>「>=y^2√(y^2+y)-(y^3+ay^2+by) >>>≒y^2(y+1/2)-(y^3+ay^2+by) >>この近似が成り立つか疑問? >>なので以降はダメ。」について、 >yが大きい時、√(y^2+y)=√{(y+1/2)^2-1/4}≒√(y+1/2)^2=(y+1/2) >よってこれは正しいと思います。 y→+∞を考えるとき、y>>1のとき √(y^2+y)≒y+1/2 とするのは√(y^2+y)単独の近似展開式としては正しいですが、 今の問題では  (y^2)√(y^2+y)≒y^3+(1/2)y^2 では近似の項が不足していて(近似が粗すぎて)ダメということです。  (y^2)√(y^2+y)=y^3+(1/2)y^2+py+q+r/y+s/y2+… と展開するときy→∞のとき (r/y+s/y2+…)→0なので 近似は  (y^2)√(y^2+y)≒y^3+(1/2)y^2+py+q の項まで求めないといけないです。 実際yの定数項までの近似式だと  (y^2)√(y^2+y)  =y^3+(1/2)y^2-(1/8)y+(1/16)-(5/128)(1/y)+(7/256)(1/y^2)-…  ≒y^3+(1/2)y^2-(1/8)y+(1/16) (y>>1) としないといけませんね。 この近似式を用いれば、 >a=1/2,b=-1/8がホントの答えです。 この答えに到達出来るでしょう。 でもx→+0に対応するy→+∞の場合だけで、 x→-0に対応するy→-∞の場合もやらないと減点されることには変わりません。 ANo.2で回答したようにxのまま極限を求めればyのような置換した場合の場合分けは不要です。 ANo.2の別解として、ロピタルの定理を使ってもよければ、もう少し簡単になるかと思います。

doragonnbo-ru
質問者

お礼

なるほど!!!ありがとうございます!!!

その他の回答 (2)

  • info22_
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回答No.2

>xが0にかぎりなく0にちかづくとき、 これは x→+0の場合とx→-0の場合があります。 なので 「xの逆数をyと置くと、y>0で、yが大きい時」 これでは半分しか尽くしておらず減点対象となります。  x→0+のときy→∞  x→0-のときy→-∞ の2つの場合を考える必要があります。 >「xの逆数をyと置くと、y>0で、yが大きい時 これだと《x→0+のときy→∞》の場合だけ扱っていることになります。 >与式=y^2√(1+1/y)-(y^3+ay^2+by) {√(1+x)-(1+ax+bx^2)}/x^3に x=1/yを代入すると =y^3{√(1+(1/y))-(1+(a/y)+(b/y^2))} >=y^2√(y^2+y)-(y^3+ay^2+by) >≒y^2(y+1/2)-(y^3+ay^2+by) この近似が成り立つか疑問? なので以降はダメ。 >=(1/2-a)y^2-by >y→∞のとき、これが収束するための条件を求めて、 >こたえはa=1/2,b=0」 xのまま極限を求めた方がいいのでは? L=lim[x→0]{√(1+x)-(1+ax+bx^2)}/x^3 分母→0なので極限値を持つ為には分子→0でなければならない。 lim[x→0] √(1+x)-(1+ax+bx^2)=√(1+0)-(1+0+0)=0 と確かになる。 そこで分子の有理化をすると L=lim[x→0]{(1+x)-(1+ax+bx^2)^2}/[x^3{√(1+x)+(1+ax+bx^2)}] =lim[x→0] {-b^2*x^4-2abx^3-(2b+a^2)x^2+(1-2a)x} /[x^3{√(1+x)+(1+ax+bx^2)}] =lim[x→0] {-b^2*x^3-2abx^2-(2b+a^2)x+(1-2a)} /[x^2{√(1+x)+(1+ax+bx^2)}] まだ分母→0なので極限値を持つ為には分子→0でなければならない。 lim[x→0] {-b^2*x^3-2abx^2-(2b+a^2)x+(1-2a)}=1-2a=0 ∴a=1/2 このとき L=lim[x→0] {-b^2*x^3-bx^2-(2b+(1/4))x} /[x^2{√(1+x)+(1+(x/2)+bx^2)}] =lim[x→0] {-b^2*x^2-bx-(2b+(1/4))} /[x{√(1+x)+(1+(x/2)+bx^2)}] まだ分母→0なので極限値を持つ為には分子→0でなければならない。 lim[x→0] {-b^2*x^2-bx-(2b+(1/4))}=-(2b+(1/4))=0 ∴b=-1/8 このとき L=lim[x→0] {-(1/64)x^2+(x/8)} /[x{√(1+x)+(1+(x/2)-(1/8)x^2)}] =lim[x→0] {-(1/64)x+(1/8)} /{√(1+x)+(1+(x/2)-(1/8)x^2)} =(1/8)/2=1/16 となって確かに極限値1/16を持つ。 以上から Ans.a=1/2,b=-1/8

doragonnbo-ru
質問者

補足

「>=y^2√(y^2+y)-(y^3+ay^2+by) >≒y^2(y+1/2)-(y^3+ay^2+by) この近似が成り立つか疑問? なので以降はダメ。」について、 yが大きい時、√(y^2+y)=√{(y+1/2)^2-1/4}≒√(y+1/2)^2=(y+1/2) よってこれは正しいと思います。

  • uen_sap
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回答No.1

ルートがどこまでかかっているのか不明。 わざわざ、yを定義する必要はない。 分母が3次の無限小になるので、分子も3次以上の無限小になるように a, bをきめればよい。

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