対数の大小比較です。ご教授よろしくお願いします。

質問

A の方がB より大きいと検討つけましたが、差をとって計算して途中で詰まりました。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.2

k14i12d

関数f(t)=logt/(1+logt)
を考えて、f(x)+f(y)+f(z)と、f(xyz)の大小を比べれば十分。
グラフで考えてみて下さい。

回答No.1

yyssaa

＞変数置き換えの都合上問題文の記号AをAA、BをBBとして自然対数に
直して計算すると、
x≧1、y≧1、z≧1、a＞1のとき
AA=log_ax/(1+log_ax)+log_ay/(1+log_ay)+log_az/(1+log_az)
BB=log_axyz/(1+log_axyz)の大小関係を調べよ。
＞lnを自然対数として
AA=log_ax/(1+log_ax)+log_ay/(1+log_ay)+log_az/(1+log_az)
=(lnx/lna)/(1+lnx/lna)+(lny/lna)/(1+lny/lna)+(lnz/lna)/(1+lnz/lna)
=(lnx)/(lna+lnx)+(lny)/(lna+lny)+(lnz)/(lna+lnz)
lnx=X、lny=Y、lnz=Z、lna=Aとおくと
AA=X/(A+X)+Y/(A+Y)+Z/(A+Z)
={X(A+Y)(A+Z)+Y(A+X)(A+Z)+Z(A+X)(A+Y)}/(A+X)(A+Y)(A+Z)
={X(A^2+AY+AZ+YZ)+Y(A^2+AX+AZ+XZ)+Z(A^2+AX+AY+XY)}
/(A+X)(A+Y)(A+Z)
={A^2(X+Y+Z)+2A(XY+YZ+XZ)+3XYZ}/{A^3+A^2(X+Y+Z)+A(XY+YZ+XZ)+XYZ}
BB=log_axyz/(1+log_axyz)=(lnxyz/lna)/(1+lnxyz/lna)
=lnxyz/(lna+lnxyz)=(lnx+lny+lnz)/(lna+lnx+lny+lnz)
=(X+Y+Z)/(A+X+Y+Z)
AA-BB={A^2(X+Y+Z)+2A(XY+YZ+XZ)+3XYZ}/{A^3+A^2(X+Y+Z)+A(XY+YZ+XZ)+XYZ}
-(X+Y+Z)/(A+X+Y+Z)
=[{A^2(X+Y+Z)+2A(XY+YZ+XZ)+3XYZ}(A+X+Y+Z)-(X+Y+Z){A^3+A^2(X+Y+Z)+A(XY+YZ+XZ)+XYZ}]
/[{A^3+A^2(X+Y+Z)+A(XY+YZ+XZ)+XYZ}(A+X+Y+Z)]
x≧1、y≧1、z≧1だからX≧0、Y≧0、Z≧0、a＞1だからA＞0であり、上式の
分母{A^3+A^2(X+Y+Z)+A(XY+YZ+XZ)+XYZ}(A+X+Y+Z)＞0、よって分子の正負を調べる。
{A^2(X+Y+Z)+2A(XY+YZ+XZ)+3XYZ}{A+(X+Y+Z)}-(X+Y+Z){A^3+A^2(X+Y+Z)+A(XY+YZ+XZ)+XYZ}
=A^3(X+Y+Z)+A^2(X+Y+Z)^2+2A^2(XY+YZ+XZ)+2A(XY+YZ+XZ)(X+Y+Z)+3AXYZ+3XYZ(X+Y+Z)
-{A^3(X+Y+Z)+A^2(X+Y+Z)^2+A(XY+YZ+XZ)(X+Y+Z)+XYZ(X+Y+Z)}
=2A^2(XY+YZ+XZ)+A(XY+YZ+XZ)(X+Y+Z)+3AXYZ+2XYZ(X+Y+Z)≧0
以上からAA≧BB・・・答

特にAA=BBが成り立つのはどんな場合か答えよ。
＞2A^2(XY+YZ+XZ)+A(XY+YZ+XZ)(X+Y+Z)+3AXYZ+2XYZ(X+Y+Z)=0が成り立つのは
A＞0だからXY+YZ+XZ=0かつXYZ=0のときであり、これはX≧0、Y≧0、Z≧0だから
X、Y、Zのうちの二つ以上が0のときであり、元に戻して、
x、y、zのうちの二つ以上が1の場合・・・答