対数

質問

沢山質問しますが、回答お願いします。対数は{}でくくっています。計算問題です。
(１)ｌｏｇ{ａ}ｂ＾２×ｌｏｇ{√ｂ}ｃ＾３×ｌｏｇ{ｃ＾２}√ａ

(２)(ｌｏｇ{１０}２)＾３＋ｌｏｇ{１０}８０－(ｌｏｇ{１０}２０）＾３＋３(ｌｏｇ{１０}２)＾２

(３)(ｌｏｇ{５}７＋ｌｏｇ{２５}４９)(ｌｏｇ{７}２５＋ｌｏｇ{４９}５)

答えは(１)３　(２)０　(３)５となっています。(１)は底をａにして計算しようと思ったのですが、途中で挫折・・しました。(２)(３)は全く分かりません。出来れば、解説付きで教えて下さい。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

ti-zuさん、こんにちは。
対数の式は、底をそろえると分かりやすいです。
(1)は底をaにしようとしてみたんですね。指針はＯＫですよ！

＞(１)ｌｏｇ{ａ}ｂ＾２×ｌｏｇ{√ｂ}ｃ＾３×ｌｏｇ{ｃ＾２}√ａ

log{a}b^2*log{√b}c^3*log{c^2}√a
=log{a}b^2*{log{a}c^3/log{a}√b}*log{a}√a/log{a}c^2
=2log{a}b*[3log{a}c/(1/2)log{a}b]*[(1/2)log{a}a/2log{a}c]
=3
となります。
底をaにそろえることと、log{a}√b=log{a}b^(1/2)=(1/2)log{a}b
などを使います。

＞(２)(ｌｏｇ{１０}２)＾３＋ｌｏｇ{１０}８０－(ｌｏｇ{１０}２０）＾３＋３(ｌｏｇ{１０}２)＾２

まず、log{10}2=xとおいてみましょう。
それぞれをｘで表すことを考えます。
(log{10}2)^3=x^3
log{10}80=log{10}2^3*10=3log{10}2+log{10}10
=3x+1
(log{10}20)^3=(log{10}2*10)^3=(log{10}2+1)^3
=(x+1)^3
3(log{10}2)^2=3x^2
といった具合です。
それぞれ元の式に代入すると、
（与式）=x^3+3x+1-(x+1)^3+3x^2=0

＞(３)(ｌｏｇ{５}７＋ｌｏｇ{２５}４９)(ｌｏｇ{７}２５＋ｌｏｇ{４９}５)

これも、底を５か７のどちらかにそろえましょう。
底を５とすると、
（与式)=(log{5}7+log{25}49)(log{7}25+log{49}5)
=[log{5}7+(log{5}7^2)/(log{5}5^2)][(log{5}5^2)/(log{5}7) +(log{5}5)/(log{5}7^2)]
=(log{5}7+log{5}7)(2/log{5}7 +1/2log{5}7)
=2log{5}7*(4+1)/2log{5}7
=5

となります。
一つずつ変形していけばいいと思います。頑張ってください！！

お礼

納得しました。丁寧な回答を有難うございました。