大小の比較（対数の利用？）

質問

数学の問題で、単純な計算問題なのですがやり方が分かりません。

『12と3^√5の大小を比較せよ』
対数の単元で出てきた問題なのでおそらく対数を利用するものなのだと予想はつきますが、二つの数を何乗かしてみたり適当に対数をとったりしても、どうもうまくいきません……。

どなたか解き方が分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授願います。
また、対数以外にも大小が分かる方法がありましたらご回答お願いします。

回答No.3

noname#232123 · ベストアンサー

どうも「追加」をすることができないようですので、新たに回答する形になりました。

「補足」についてお答えします。
√5 の近似値として当然、2.236067977 が頭に浮かび、これは「2.25」に十分近いので使えるかな？と考えるわけです。
これは、分母が「４」ですから、「４乗」するとうまく整数になることが予想できます。なお、もっと分母が小さい数、2+1/3 も浮かびましたがこれは大小が逆でうまく利用できません。・・・・以上「楽屋裏」でした。

お礼

なるほど！
近似値を上手に利用する方法がよく分かりました！

類題にも応用できそうなやり方を教えていただき、ありがとうございます。
非常にためになりました。
回答ありがとうございました！（＞＜）

回答No.2

noname#232123

√5<2+1/4 はすぐ分かりますから、
3^(2+1/4)=3^(9/4) と 12 の大小を比較してみます。
正数である両者を４乗してみると、
{3^(9/4)}^4=3^9=19683,
一方、12^4=20736 ですから、3^(9/4)<12 であることが分かります。
3^√5<3^(2+1/4) ですから結局、
3^√5<3^(9/4)<12
となっています。

補足

なるほど、√5よりも大きい簡単な数字を用いればよいのですね。
ところで再び質問となってしまい申し訳ないのですが、回答者様は何故『2+1/4』という数字を使ったのでしょうか？
√5よりも大きいから、と言われたらそこまでなのですが、ちょうどこのピンポイントな数字を用いた理由（導き方？）があるのでしたら教えてください。
何度もすみません。

回答No.1

bran111

log12=log(4*3)=2log2+log3=2*0.3010+0.4771=1.079

log(3^√5)=√5log3=2.236*0.4771=1.067

12>3^√5

2,3の常用対数、√2,√3,√5は受験生は覚えておくこと。

お礼

やはり、常用対数や√の値などは覚えておいたほうが良いのですね…
たくさん演習していくうちに自然と覚えていけるように、がんばります。

回答ありがとうございました！