大小の比較

質問

a,bが3＾(a)=5＾(b)を満たすとき、3aと５bの大小を比較する問題で

(i)
a=0のとき
3＾(0)=5＾(b)
1=5＾(b)
となりますが、どうして
a=0のとき、b=0となって3a=5bとなるのですか？

(ii)
a>0のときなぜ、ｂ＞０になるのですか？

3＾(a)=5＾(b)

例えば
3＾(a)=5でしたら
a=log(3)5と表せますが
この問題の場合
3＾(a)=5＾(b)から
どうしたらalog(5)3=bとなるのでしょうか？

どうして
3a-5b=3a-5alog(5)3となるのですか？

最後
なぜ、a＞０、ｂ＞０なのに
alog(5) (１２５/243)<0となり
どうして０より小さくなるのですか？

そして、なぜ答えは3a<5bとなるのですか？
質問ばかりしてすいません。

回答No.8

mshr1962 · ベストアンサー

＞a=0のとき、b=0となって3a=5bとなるのですか？
どんな数字に0をかけても結果は0だからです。
3a=3*0=0→3a=5bなら0=5bとなるのでb=0

＞a>0のときなぜ、ｂ＞０になるのですか？
対数(log)にして展開すると
a*log(10)3=b*log(10)5
a=b*log(10)5/log(10)3=b*log(3)5
a>0だからb*log(3)5>0で両辺をlog(3)5で割るとb>0となる。

＞3a-5b=3a-5alog(5)3となるのですか？
先ほどの途中経過で
a=b*log(10)5/log(10)3=b*log(3)5
これをbを求める式にすると
b=a/log(3)5=a*log(5)3 これを 3a=5b→3a-5b=0 とbにa*log(5)3を代入しただけ

＞なぜ、a＞０、ｂ＞０なのにalog(5)(125/243)<0となり
3a<5bとした場合
3a-5b=3a-5a*log(5)3
=3a*log(5)5-5a*log(5)3
=a*log(5)(5^3)-a*log(5)(3^5)
=a*log(5)(125/243)<0
となりlog(5(125/243)>0のためa<0となり結果が矛盾します。
そのため
3a>=5bが導き出されます。

回答No.7

yoko_love1983

3a-5b=alog(5)(125/243)<0となって
3a<5bね

回答No.6

yoko_love1983

(iii)
＞＞a<0のとき
＞＞b=log(5) 3　も負になるのですか？(b<0)
＞＞どうしてですか？
＞＞alog(5)(125/243)＞０

＞＞これは　ー＊－＝＋
＞＞ということですか？

b= log(5)3は正です。aとは関係なく真数が１より大きい（３なので）正です。

log(5)(125/243)<0でしょ。でa>0でしょ。

a×log(5)(125/243)=正×負で負

alog(5)(125/243)＜０

alog(5)(125/243)<0て＃５にも書きましたが負ですよ。正じゃないです。

回答No.5

yoko_love1983

#2です

a>0のときb>0で
alog(5)(125/243)<0となるのですか？
a,bも０より大きいのに。

a>0 log(5)(125/243)<0でしょ。真数125/243が１より小さいのでログの部分が負になるでしょ。
真数が１より小さいとログは負になります。１だとぴったり０だから、１より小さいと負になる。

正×負で負よってalog(5)(125/243)<0

補足

ありがとうございます
(ii)
a>0のとき
例えばa=1のとき
3=5＾(b)
b=log(5) 3となって
b>0と言えるのですか？
真数が１より小さいとログは負になるんですね。
知りませんでした
ありがとうございます。

(iii)
a<0のとき
b=log(5) 3　も負になるのですか？(b<0)
どうしてですか？
alog(5)(125/243)＞０

これは　ー＊－＝＋
ということですか？

回答No.4

chiropy

（ⅰ）
　a=0の時1=5^b
ここでx^0=1(xは任意の数)なのでb=0
3a=3・0=0
5b=5・0=0
よって3a=5b

（ⅱ）
3^a>0,5^b>0より５を底とする対数をとる。
3^a=5^b
alog[5]3=blog[5]5
b=alog[5]3
ここでy=log[5]xは底が５の対数なので0<x<1でy<0,1<xでy>0となる。よってlog[5]3>0である。
b=alog[5]3
=a・正
=正・正（∵a>0）
=正
となりa>0の時b>0

（ⅲ）
それぞれの関数の値域を考えましょう。(p>0)
y=p^x ではy>0となります。グラフを書けば分かります。ちなみにpがどんな値でもx=0でy=1の定点を通過します。
ではy=log[p]xはどうでしょう。これは先のy=a^xの逆関数？xとyを入れ替えたものです。グラフはy=xを対称軸にy=p^xを折り返したものになります。ちなみにy=0,x=1の定点を通過します。
ここでy=p^xはaが0<p<1と1<pとで異なります。つまりそれに応じてy=log[p]xも0<p<1と1<pとで異なります。今回の場合p>1なので<x<1でy<0,1<xでy>0となる。（実際にグラフを書けば分かります）
質問のalog[5](125/243)の真数部分は0<真数<1、底＞１なのでlog[5](25/243)<0となる。またa>0よりalog[5](125/243)>0

回答No.3

Trick--o--

> a>0のときb>0で
> alog(5)(125/243)<0となるのですか？
> a,bも０より大きいのに。

alog(5)(125/243) = 3a - 5b ですよね。

たとえば、
3*1 - 5*2 = -7 < 0 ですよね。
このとき、a>0, b>0 でも 答えはマイナスになるでしょう？
それと同じことです。

回答No.2

yoko_love1983

(i)
a=0のとき
3＾(0)=5＾(b)
1=5＾(b)
となりますが、どうして
a=0のとき、b=0となって3a=5bとなるのですか？

logはわかるでしょうか？1=5^b ⇔ log五 1 = 0 = b
漢字は底です。logでは底が１でないなら真数１のときは０となります。

(ii)
a>0のときなぜ、ｂ＞０になるのですか？

3＾(a)=5＾(b)

この問題の場合
3＾(a)=5＾(b)から
どうしたらalog(5)3=bとなるのでしょうか？

両辺を5を底としてlogをとると、
log(5) 3^a = log (5) 5^b　←A
でしょ。log では
真数に累乗があるとそれが前にでて積にできます。
（これは簡単に証明できます。）
Aから累乗のaが先頭にでてくる。
たとえば、log (2) 5^7 =7log(2) 5（７×ログ２の５となる）
だから、alog(5)3 = bとなる。

a=log(3)5
b=alog(5)3

より大小関係を比較するために３a-5bを代入して計算して、　３a-5alog(5)3 じゃないのかな。

でalog(5) (１２５/243)<0
aは正で　log(5)125/243　は負でしょ。だって真数の部分が1より小さいから。ログの部分は負じゃないですかだから、＜０になるんじゃないでしょうか。

どうして
3a-5b=3a-5alog(5)3となるのですか？

３a-5b=3a-5alog(5)3= a (3ー5log(5)3) が正になるか負になるのかをしらべる。なんで
alog(5) (１２５/243)がでたのかがわかりました。

3ー5log(5)3＝３ーlog(5)3^5 ←（累乗は中にいれることもできる）

３－log(5)243 = log (5) 5^3 - log(5)243
=log(5)125 - log(5) 243 = log (5) (125/243) < 0つまり3a - 5b < 0となるので3a<5bかな？

補足

どうもありがとうございます。
符号について教えてください
a>0のときb>0で
alog(5)(125/243)<0となるのですか？
a,bも０より大きいのに。

回答No.1

Trick--o--

1.
3^0 = 5^n
1 = 5^n
で n = 0 まではOK？
3a = 5b て掛け算よのね？
0以外にかけて0になるのは0だけよ？

2.
3^a = 5^b
3^a = M
M = 5^b
b = log(5)(M) = log(5)(3^a) = a*log(5)3

最後
a*log(5)(125/243) = a*log(5)125 - a*log(5)243