大小比較の問題

質問

a＞b＞0、a+b=1であるとき、√a+√b、√(a-b)、√ab、1の大小を比較せよ

a+b=1よりa=1-b、a＞bに代入すると1/2＞b
a+b=1よりb=1-a、a＞bに代入するとa＞1/2
よって1＞a＞1/2＞b＞0
ためしに色々代入すると√a+√b＞1
1＞√(a-b)
1＞√abとなることが分かったのですがここからが分かりません
√(a-b)と√abがどんなときどちらが上か調べる方法はありませんか？あったら教えてください

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

難しくはないが、面倒だね。三角関数を持ち出しても、綺麗にいかない。
しょうがないから、正直にやろう。それにしても　下手な方法だなぁ。。。。。。。ｗ。

√a＝α、√b＝βとする。α＞β＞0、α＾2＋β＾2＝1　‥‥(1)
Ａ＝√(a-b)、Ｂ＝√ab　とすると　Ａ＞0、Ｂ＞0から2乗したものを比較しても同値。
よって、Ａ＾2-Ｂ＾2＝α＾2-β＾2-α＾2*β＾2＝βを消して＝α＾4＋α＾2-1＝(α＾2＋1/2)＾2-5/4.
(1)から　1/2＜α＾2＜1の条件で　y＝(α＾2＋1/2)＾2-5/4のグラフを考える。
分かりにくいなら、α＾2＝m　とおいて　1/2＜m＜1　で　y＝(m＋1/2)＾2-5/4のグラフを考える。
yの値の正負が　ＡとＢの大小だから、あるmの値を境に　その正負は変わる。

ここまで来れば、続きは自分でできるだろう。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.8

kenjoko

＞正と負のときということは0は調べず・・・　

　ゴメン０のときも調べてください。

＞あと、何故正負のときなのでしょうか？

　√(a-b)と√abの大小関係が逆転する場合もあるので。

お礼

わかりました ありがとうございました

回答No.7

kenjoko

＞√(a-b)と√abがどんなときどちらが上か調べる方法はありませんか？あったら教えてください

　両方を２乗するところまでは同じ。

　　b=1-a を a-bに代入して、 2a-1　　・・・(1)
　　同様に ab=-a^2+a　　・・・(2)

　(1)－(2)＝a^2+a-1　・・・この式の正と負のときのaの範囲をしらべる。
　　ただし、1/2＜a＜1に注意

補足

正と負のときということは0は調べず
a^2+a-1＞0と0＞a^2+a-1を調べるということですか？

あと、何故正負のときなのでしょうか？

回答No.6

kgu-2

No3です。自信が無いので、念の為。
　a=0.7(当然b=0.3)とだと、√0.7-0.3　－　√0.7*0.3=0.635-0.458=0.177
a=0.6だと、√0.6-0.4　－　√0.6*0.4　= 0.447 - 0.489 = －0.041　と、大小が逆になるのでは。

回答No.5

kgu-2

No3です。
　No3の下の「お礼」の書き込みでは、私の式のどこが間違っているかは、指摘されていません。むしろ、書き込んで下さったのは、bについて解いた場合。私の回答の裏返しにすぎません。ご確認下さい。
　他の回答者に論究するのは、失礼にあたるので、極力避けています。が、私の式と一致しないものもあるようです。No1の方の式とは、一致しているハズ。

補足

aについて解くのとbについて解くのの違いだけなんですね、失礼しました

回答No.4

foomufoomu

前の回答は、勘違いがありまして、前に書いた方法ではダメでした。
√(a-b)
√(ab)
どちらも正なのは明らかなので、√をとってしまって(両方を２乗する＝大小関係は変わりません）差を求めればよいです
a-b-ab=a-(1-a)-a(1-a)=a^2-a+1
これが正になるaの範囲で√(a-b)≧√(ab)です。

お礼

二乗ですね ありがとうございました

回答No.3

kgu-2

受験以来、ほぼ40年ぶりだが、おもしろそうなので、

>√(a-b)と√abがどんなときどちらが
ルートを外しても、大小関係は、同じなので
a-b>abが証明できれば十分

a-b=a-(1-a)=2a-1---A
ab=a(1-a)=a-a~2 ---B

A-Bを計算すると、
　2a-1-a+a^2
=a^2+a-1
=(a+1/2)^2-5/4---C

C=0とすると、
a=√5/4　－　1/2　=0.618
a>0.5ですから
a>0.618 なら、A>B
0.618>a>0.5なら、A<Bでは

お礼

(3-√5)/2＞b＞0なら√(a-b)＞√ab
b=(3-√5)/2なら√(a-b)=√ab
1/2＞b＞(3-√5)/2なら√ab＞√(a-b)

が答えみたいです(1より上は省略しました)

回答No.2

foomufoomu

a+b=1 より　b=1-a として、3つの式に代入してｂを消すと、簡単に分かりますよ。
どの式にも 1-a の項が出てきて、それに何かを掛けたり足したりする形なので、何かの部分の大小を考えればよいです。