準同型の写像

質問

巡回群Z/nZから巡回群Z/mZへの準同型が０(ゼロ)写像ただ一つしか存在しない条件は、nとmが互いに素、即ち(n，m)=1であることを示せ。なんですが教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

例えば、巡回群Z/3Z
　(0,1,2)
から、巡回群Z/6Z
　(0,1,2,3,4,5)
への写像を
　f(0)=0, f(1)=2, f(2)=4
と決めれば、
　f(0+1)=f(1)=2, f(0)+f(1)=0+2=2
　f(0+2)=f(2)=4, f(0)+f(2)=0+4=4
　f(1+2)=f(0)=0, f(1)+f(2)=2+4=0
　f(0+0)=f(0)=0, f(0)+f(0)=0+0=0
　f(1+1)=f(2)=4, f(1)+f(1)=2+2=4
　f(2+2)=f(1)=2, f(2)+f(2)=4+4=2
ですから、fは、準同型写像になっています。ところが、巡回群Z/3Z
　(0,1,2)
から、巡回群Z/5Z
　(0,1,2,3,4)
への写像の場合は、例えば、
　f(0)=0, f(1)=2, f(2)=3
と決めても、
　f(1+1)=f(2)=3, f(1)+f(1)=2+2=4
ですから、fは、準同型写像になっていません。