積分公式の証明

質問

先日インターネットを見ていると、以下のような公式を見つけました。

∫(e^(ax)cos(bx))dx
=(e^(ax)(acos(bx)+bsin(bx))/(a^2+b^2)+C

私は現在高3生で、数3まで勉強していますが、上のような公式は見たことがありません。
この公式は大学レベルのものなのでしょうか。この公式に名前はあるのでしょうか。
またこの公式の高校レベルでの証明があれば教えていただきたいです。

あと、この公式を断りなく大学入試で使用しても大丈夫でしょうか？

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

>この公式は大学レベルのものなのでしょうか。
高校レべルです。しかも簡単に導けます。
簡単なテクニックが必要ですが、覚えてしまえば取るに足らないでしょう。

>上のような公式は見たことがありません。
単に公式または導出法に出会わなかっただけにすぎない（経験不足なのかも）。部分積分法と簡単なテクニックで導出できる式だから、導出法を覚えておいた方がいいね。

>この公式を断りなく大学入試で使用しても大丈夫でしょうか？
公式としてではなく導出して使えばいいでしょう。穴埋め問題なら、公式は表に出ません。記述式なら公式「…」を用いてと書くか、直接求めるかですね。

>この公式に名前はあるのでしょうか。
おそらく無いでしょう。簡単に導ける公式だから公式の部類に入れていないかもしれないですね！
普通、数IIIの微積をやる受験生なら導き方は覚えておくべきでしょう。
公式として覚えると、公式を間違えて使うと取り返しがつかないね。

導出法
>この公式の高校レベルでの証明
I=∫(e^(ax))cos(bx)dx
部分積分して
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)-∫(1/a)(e^(ax))(cos(bx))' dx
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)-∫(1/a)(e^(ax))(-b)sin(bx) dx
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)+(b/a)∫(e^(ax))sin(bx) dx
もう一度部分積分して
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)
+(b/a){(1/a)(e^(ax))sin(bx)-∫(1/a)(e^(ax))(sin(bx))' dx}
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)+(b/a^2)(e^(ax))sin(bx)
-(b/a^2)∫(e^(ax))bcos(bx) dx
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)+(b/a^2)(e^(ax))sin(bx)
-((b/a)^2)∫(e^(ax))cos(bx) dx

ここで ∫(e^(ax))cos(bx) dx=I なので
=(1/a)(e^(ax))cos(bx)+(b/a^2)(e^(ax))sin(bx)
-((b/a)^2)I
Iの項を左辺に移項して
I{1+((b/a)^2)}=(1/a)(e^(ax))cos(bx)+(b/a^2)(e^(ax))sin(bx)+C1
両辺に (a^2)/(a^2+b^2)を掛けると
I={(e^(ax)(acos(bx)+bsin(bx))/(a^2+b^2)} +C
ここで、不定積分の任意定数（積分定数）C1をC=C1* (a^2)/(a^2+b^2) に置き換える。
(証明終わり)

[注]実際の積分はa,bに具体的な数字が入るため、証明のようにa,bの文字がなく、ずっと簡単に積分できる。
なので、この公式は覚えるより、積分の仕方を覚え使えるようにしておく方がいいでしょうね。

お礼

詳細な回答ありがとうございます。
理解することができました。

回答No.3

naniwacchi

部分積分を繰り返し使っていくことで示せますよ。
e^(ax)を微分する項として2回繰り返せば、もとの積分の形がまた現れます。
難しい計算ではないので、チャレンジしてみてください。

この手の積分が出てくるとすれば、
減衰振動（増幅振動）のグラフが x軸と囲む面積を求めるという問題でしょうか。
そのような問題であれば、積分計算というよりは等比数列の問題になることが多いです。
http://okwave.jp/qa/q5763407.html

問題の出され方によっては、導出過程を示すこともあると思うので、
丸暗記するよりは導出過程を覚えておく方がよいと思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5763407.html

お礼

回答ありがとうございます。
参考URLもみておきます。

回答No.2

spring135

>∫(e^(ax)cos(bx))dx
=(e^(ax)(acos(bx)+bsin(bx))/(a^2+b^2)+C

部分積分と漸化式を使って証明できたと思いますが

複素数を使った積分によって形式的に簡単に証明できます。

∫(e^(ax)cos(bx))dxの代わりに

I=∫(e^(ax)(cos(bx)+isin(bx))dx (1)

を考えます。iは虚数単位

オイラーの定理より

I=∫(e^(ax)(e^(ibx))dx=∫(e^(a+ib)x))dx=(1/(a+ib))e^(a+ib)x+c

(a+ibを一つの定数とみている。）

I=(a-ib)e^(ax)[cosbx+isinbx]/(a^2+b^2)+c

実数部＝∫(e^(ax)cos(bx))dx=e^(ax)(acos(bx)+bsin(bx)+c

虚数部=∫(e^(ax)sin(bx))dx=e^(ax)(asin(bx)-bcos(bx))+c'

このような式を含む問題が入試に出るとすれば積分ができるように工夫が凝らされているj￥必要があると思います。複素数を含む積分は複素関数論を理解する必要があり大学では普通にやっていますが高校ではちょっと無理でしょう。
　その辺は受験情報をもっと調べてください。

お礼

回答ありがとうございます。
複素数を使った積分はあまりよくわかりませんが、参考になりました。

回答No.1

Tacosan

証明方法だけ: 微分

お礼

回答ありがとうございます。
確かに微分すれば証明はできますね。