微分方程式について

質問

分らない問題があるので誰かわかる方教えてください！

dy/dx=-xyという問題で答えが　y=Ce^-x^2/2

y'^2 -4y=0　で答えがy=(x-C)^2

y''=-a^2*y で答えがy=Acos*ax+Bsin*ax

です。どれか一つでもいいんで過程を教えていただきたいんですが…よろしくお願いします！

回答No.4

kabaokaba

>（解析学では、y''+y=0 の２つの特解をsin cos とおいたのでは）

それはわかりません．流儀の問題でしょう．
微分方程式の特解で
三角関数を定義するのは少数派かもしれません．
実際，例えば，杉浦「解析入門I」（東大出版）なんかでは
級数で定義してるはずで，この定義の方がメジャーなようです．
むしろ，いきなり解空間が2次元で基底がsin，cosという方が
数学的には・・・
＃というかこれを前提に出来るなら微分方程式を解けという問題の
＃意味がそもそもないですよ

y''= a^2y で特性解を使わないで求めようと思ったら
z = y' - ia y とおいて
z' + ia z = 0を解くという手があります．
これで z = C e^{-iax} を求めておいて
y' - iay = Ce^{-iax}
これの両辺に e^{-iax} を掛けて
e^{-iax} y' - iae^{-iax} y = C e^{-2iax}
(e^{-iax} y)' = C e^{-2iax}
e^{-iax} y = C/(-2ia) e^{-2aix} + D
y = C/(-2ia) e^{-iax} + D e^{iax}
ここで，C,Dは任意なので，それぞれ C,Dとまた書き換えて
y=Ce^{-iax}+De^{iax}
e^{-it}= cos(t) + i sin(t) より
y=C cos(ax) -i C sin(ax) + D cos(ax) + i D sin(ax)
A=C+D，B=-i(C-D)とおけば
y=Acos(ax)+Bsin(ax)

他にも z=y' とおくことで
dy/dx = z
dz/dx = -a^2 y
すなわち
d/dx Y = A Y
Y=(y,z)^t
A= ( 0 1
-a^2 0 )
と行列の形にもっていく手があります．

ところで・・・
>y''=-a^2*y で答えがy=Acos*ax+Bsin*ax
cos*ax，sin*ax というのは間違いです
積ではありません．

回答No.3

Meowth

変数分離法
y=0
が解
または、
dy/y=-xdx
logy=-x^2+c
y=Ce(-x^2/2) ]　(y=0も含めて）

これも変数分離法
dx=1/2 y^(-1/2)dy
x=y^(1/2)+c
y=0も解

y''=-a^2*y は　sin cos　の定義から
y=Asin(ax)+Bcos(ax)
とおける。
（解析学では、y''+y=0 の２つの特解をsin cos とおいたのでは）
（もちろん答えをだすためならANo.2のようにといてもいいが　　数学的には.....)

回答No.2

joggingman

最初の２つは変数分離ということで、

y''+(a^2)y=0　は、
y=C*e^(λx)とおいて代入すると、特性方程式
λ^2+(a^2)=0　より、
λ=±ia
C1,C2は複素定数だから、C1=p+iq,C2=r+is（p,q,r,sは実数）
y=C1*exp(+iax)+C2*exp(-iax)
=C1(cos(ax)+i*sin(ax))+C2(cos(ax)-i*sin(ax))
=(p+q)cos(ax)+(-q+s)sin(ax)+i{・・・}
実部をとって、
y=(p+q)cos(ax)+(s-q)sin(ax)=A*cos(ax)+B*sin(ax)

回答No.1

imopro

最初の問題だけヒント。

変数を分離しましょう。
教科書か問題集に変数分離法というのが載っているはずです。
具体的には、(1/y)dy=-xdxという形に変数を分けます。

残りの問題も基本的なので、テキストを読み返す事ですね。