証明

質問

１）
z=g{f(x)}, y=f(x)　⇒　dz/dx=dz/dy*dy/dx
すなわち、dg{f(x)}/dx=g'(x)*f'(x)

２）
(log|x|)'=1/x logは底がeの自然対数

という公式を習い、証明しようとしましたが何から始めたらよいか分からなくてこまってます。

面白そうなので理解したいです
もしよろしければ証明していただけないでしょうか。

回答No.3

owata-www

暇なので1)も証明（よくよく考えれば面倒ではなかった…）

z=g{f(x)},y=f(x)とすると、微分の定義より
dz/dx=lim(h→0) [g{f(x+h)}-g{f(x)}}/h
=[g{f(x+h)}-g{f(x)}}/{f(x+h)-f(x)} * {f(x+h)-f(x)}/h
=[g{f(x+h)}-g{f(x)}}/{f(x+h)-f(x)} * df(x)/dx（＝dy/dx） …(1)（微分の定義）
ここで、h'=f(x+h)-f(x)とおくと、f(x+h)=f(x)+h'となるので
(1)=[g{f(x)+h'}-g{f(x)}}/h' * dy/dx
=dg{f(x)}/df(x)（=dz/dy）*dy/dx （微分の定義）
=dz/dy*dy/dx
です。

回答No.2

owata-www

書くのが面倒なので丸投げ
1)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/gouseikansuu-no-doukansuu.html

2)こちらは真面目に
微分の定義
f'(x)=lim(h→0) {f(x+h)-f(x)}/h
で、f(x)=logx(本来はln xと書く)の時、
f'(x)=lim(h→0) {f(x+h)-f(x)}/h
=lim(h→0) {log(x+h)-logx}/h
=lim(h→0) log{(x+h)/x}/h
=lim(h→0) log(1+h/x)/h…(1)
ここで、h/x=tとおくとh=xtであり、h→0ならt→0
よって、
(1)=lim(t→0) log(1+t)/xt
=lim(t→0) 1/x*log(1+t)^(1/t)
=1/x*loge eの定義e=lim(t→0) (1+t)^(1/t)より
=1/x
です。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

sanori

こんばんは。

高校の教科書に必ず書いてありますけれども、
一応、教科書相当の説明がされているサイトを見つけましたので、
リンクを貼っておきますね。

合成関数の微分
http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/compoderiv.htm

対数関数の微分
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/Thrm2ForCalculatingDerivativePrf3.htm

以上、ご参考になりましたら。