ガウス積分公式の証明についてです！

質問

ガウス積分公式の証明で、

∫ｄｘ exp(－ａｘ＾２)＝（π／ａ）＾１／２

までは分かるのですが、

多次元の場合の

∫・・・∫ｄｘ1・・・ｄｘn exp(－Σｘｉ Ａij ｘj)
＝（π＾ｎ／２）／（detＡ）＾1/2
(積分範囲は－∞～∞、和の範囲はｉｊ～ｎです。)

の証明が、どのようにすれば良いのかどうしても分かりません！教科書などもかなり調べたのですが、基本的すぎるのか探し方が悪いのか、どうやっても分かりませんでした。明日までに解かなければならず、最後の頼みの綱としてここに書かせて頂きます！分かるという方いらっしゃいましたら、どうか教えてやって下さい！お願いします！

回答No.2

adinat

とりあえず対角成分が(λ_1,…,λ_n)の対角行列の場合を考えます。
Fubiniは変数別に積分できるというぐらいに思えばよいと思います。
そうすると
∫・・・∫dx_1・・・dx_n exp(－Σλ_ix_i^2)
＝∫exp(－λ_1x_1^2)dx_1・・・∫exp(－λ_nx_n^2)dx_n
となって1変数の場合の結果がそのまま使えます。

お礼

ありがとうございます！成る程です！書いて頂いた式に沿ってやってみたら解くことができました～！おかげ様で無事に今日発表も済みまして、返信が遅くなりましたが、本当にありがとうございました！！

回答No.1

adinat

Aは正定値だとおもいますが、対角化(要は変数変換)
して、あとはFubiniをつかって1変数に帰着させる
というのが基本的な方針だったと思います。

お礼

早速のご回答ありがとうございます！
そうです、書き忘れてしまいましたが、Ａは正定値で、対角化可能です。ご指摘ありがとうございます！
Ｆｕｂｉｎｉの定理を使うのですか、、、その定理自体理解が怪しいのですが、、明日までまだあるので頑張ってみます>_<