数学の合成の問題

質問

鹿児島大学の過去問

(1)a、bはともに0でない定数とするとき、acosθ－bsinθ＝√a^2＋ b^2cos(θ＋α)が成り立つことを示せ。ここでαはある角度である。

(2)√3cosθ＋sinθを(1)を用いてcosの式で表せ。αの値も求めよ。

(3)0≦θ≦πのとき、cosθ－sinθの最大値と最小値を求めよ。そのときのθの値もそれぞれ求めよ。

時間がなくて焦ってます。よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

a cosθ-b sinθ＝√(a^2+b^2)・{cosθ・a/√(a^2+b^2)-sinθ・b/√(a^2+b^2)}

cosα＝a/√(a^2+b^2)、sinα＝b/√(a^2+b^2) とおくと

＝√(a^2+b^2)・{cosθcosα-sinθsinα}
＝√(a^2＋ b^2)・cos(θ＋α)
tanα=b/a,α=tan^-1(b/a)

(2)√3cosθ＋sinθ
(1)を用いて,
a＝√3, b＝-1より
√(a^2+b^2)＝√(3+1)＝2,
α＝-tan-1(1/√3)＝-π/6
√3cosθ＋sinθ＝2cos(θ-(π/6))

(3) f(θ)=cosθ－sinθ＝√2cos(θ+tan^-1(1))=√2cos(θ+(π/4))
0≦θ≦πより　π/4≦θ＋(π/4)≦(5π/4) であるから
-1≦cos(θ+(π/4))≦1/√2
-√2≦√2cos(θ+(π/4))≦1
-√2≦f(θ)≦1
最小値f(π-π/4)＝f(3π/4)＝-√2、θ＝3π/4
最大値f(0)＝1, θ＝0

お礼

わかりやすい説明、ありがとうございます！助かりました！

回答No.6

alice_44

No.4 の (1) も、「そのような α が存在する」の部分が弱い。
そこが、一番肝心なことなのに。
tan の値域が (-∞,∞) だと断れば良いような気もするが、
α = tan^-1( b/a ) を使うと、a での場合分けも生ずる。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます！非常に助かりました。

回答No.5

alice_44

A No.1 の (1) の説明に沿ってやってみると、
(2) は、cosα = (√3)/2, sinα = -1/2 となる α
を使って、= 2 cos(θ + α) であることが判る。
単位円の絵を書いて考えれば、α = -π/6 + 2π(整数)
であることも解るはず。

α = π/6 + 2π(整数) としてあるのなら、
解答が間違っているか、
(1) とは違って、= 2 cos(θ - α) としているか
のどっちか。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます！2cos(θ－α)となっていました。

回答No.3

alice_44

(1)は、cosα = a/√(a^2+b^2), sinα = b/√(a^2+b^2) と変形した後
「そのような α が存在する」ことを言う部分が証明の中核だと思うが、
その言い回しが以外と難しい。
原点を通ってベクトル (a,b) に平行な直線と、原点中心の単位円との
交点を求めてみてはどうかと思う。

補足

丁寧にありがとうございます！

また質問になってしまうのですが、解答では、(2)のαの答えがα＝π/6＋2nπ(nは整数)になっていて…正直よくわからなくて困っています…

回答No.2

gf4m414

a、bはともに0でない定数とするとき、acosθ－bsinθ＝√a^2＋ b^2cos(θ＋α)が成り立つことを示せ。ここでαはある角度である。

√(a^2+b^2)cos(θ＋α）＝√(a^2*b^2)*[cosθ*cosα-sinθ*sinα]
ここでcosα＝a/√(a^2*b^2) sinα＝b/√(a^2*b^2)とおくと与式が成り立つ。

√3cosθ＋sinθ＝2cos(θ-π/6)

cosθ－sinθ＝√2cos(θ+π/4)

最大値　θ＝0　のとき1
最小値　θ＝3/4πのとき-√2

補足

ありがとうございます！

また質問になってしまうのですが、解答では、(2)のαの答えがα＝π/6＋2nπ(nは整数)になっていて…正直よくわからなくて困っています…

回答No.1

alice_44

まだあまり時間が無くて焦る季節ではないが…
それにしても、こんな教科書の例題みたいなのが
本当に大学の過去問なんだろうか？ いろいろ謎。

(1) 右辺を cos の加法定理で展開して
　　cosθ と sinθ の係数を両辺で比較すれば、
　　cosα = a/√(a^2+b^2), sinα = b/√(a^2+b^2)
　　となる α を見つければよいことが解る。

(2) cosα, sinα の値を、それぞれ具体的に求めてみよ。
　　すると、α はよく見かける角度であることが判る。

(3) これも(1)を用いて、ひとつの cos に合成する。
　　θ+α の範囲が判れば、与式の値域も解る。

補足

ありがとうございます！

また質問になってしまうのですが、解答では、(2)のαの答えがα＝π/6＋2nπ(nは整数)になっていて…正直よくわからなくて困っています…