広義積分の極限問題

質問

(ne^-x^2)/(1+(nx)^2)
xに関する積分
積分範囲は二つあります
(1)(1/(n^1/2)ー∞)
(2)(0ー∞)

Lim(n->∞)の時この積分の極限値を求めよう
どうやって解くのがわからないので
教えてください

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

＞積分区間[1/√n,(1/√n)+ε]
＞e^(-x^2)≦e^(1/√n)

ごめんなさい。転記ミスしました。正しくは
e^(-x^2)≦e^(-(1/√n)^2)=e^(-1/n)
1+(n^2)(x^2)≧1+(n^2)((1/√n)^2)=1+n
です。

0≦∫[1/√n,(1/√n)+ε]ne^(-x^2)/(1+(n^2)(x^2))dx
≦ne^(-n)/(1+n)∫[1/√n,(1/√n)+ε]dx
=(n/(1+n))e^(-n)ε

となってn→∞のとき右辺→0なので左辺→0です。

＞それではあと(M,∞)の区間で計算する必要が
＞あるのでしょうか？

積分区間[1/√n,∞)での積分というのはつまり
積分区間[1/√n,M]での積分のM→∞のときの極限です。
これはMを添字とするコーシー列になっていることで
広義積分の存在が言えますから、各Mについて
[1/√n,M]での積分が計算出来れば十分です。

＞(2)についても

|∫[0,1/√n](ne^-x^2)/(1+(nx)^2) dx-∫[0,1/√n]n/(1+(nx)^2) dx|
=|∫[0,1/√n]n((e^(-x^2))-1)/(1+(n^2)(x^2))dx|
≦n(1-e^(-1/n))∫[0,1/√n]dx/(1+(n^2)(x^2))
=(1-e^(-1/n))arctan√n

となります。
n→∞のとき右辺→0なので左辺→0です。

お礼

やっと理解した ありがとうございました

回答No.1

noname#199771

方針を書きますのでこれに沿って計算してみてください。
途中でわからなくなったらその旨補足に書いてください。

(1)
1/√n付近について。
正数εを取ります。
積分区間[1/√n,(1/√n)+ε]では
e^(-x^2)≦e^(1/√n)
1+(n^2)(x^2)≧1+(n^2)(((1/√n)+ε)^2)
を使って積分を評価します。

∞付近について。
正数M>1と正数ε>1を取ります。
積分区間[(1/√n)+ε,M]では
e^(-x^2)≦xe^(-x^2)
1+(n^2)(x^2)≧1+(n^2)(((1/√n)+ε)^2)
を使って積分を評価します。

(2)
積分区間を(1)の区間と[0,1/√n]とに分けます。
後者については
∫[x=0～1/√n]dx/(1+(n^2)(x^2))=(1/n)arctan√n
とarctan√n→π/2(n→∞)
に注意して、
|∫[0,1/√n](ne^-x^2)/(1+(nx)^2) dx-π/2|
≦|∫[0,1/√n](ne^-x^2)/(1+(nx)^2) dx-∫[0,1/√n]n/(1+(nx)^2) dx|+|(arctan√n)-π/2|
という要領で評価します。

補足

回答してくれてありがとうございました
まず積分区間[1/√n,(1/√n)+ε]
0<ne^(-x^2)/(1+(n^2)(x^2))<ne^(1/√n)/(1+(n^2)(((1/√n)+ε)^2))

εを定数として
ne^(1/√n)/(1+(n^2)(((1/√n)+ε)^2))の積分 =(ne^(1/√n)/(1+(n^2)(((1/√n)+ε)^2)))ε=0
ゆえにne^(-x^2)/(1+(n^2)(x^2))の積分=0
以上回答を見って計算しました もし正しければ 積分区間[(1/√n)+ε,M]では以上と同じ方法で計算したら
Mを1以上の定数として計算するのですか? それではあと(M,∞)の区間で計算する必要があるのでしょうか？
この辺はよくわかりません
(2)についても
|∫[0,1/√n](ne^-x^2)/(1+(nx)^2) dx-∫[0,1/√n]n/(1+(nx)^2) dx|+|(arctan√n)-π/2|の中には
(ne^-x^2)/(1+(nx)^2) がありますので、原関数はわからないので 最初の問題に戻ったのでよくわかりません