有限の極限値

質問

lim[x→0][{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^n]
が0以外の有限の極限値を持つように自然数nを定め、その時の極限値を求めよ。

という問題です。
私は、√(1+x^2)をマクローリン展開し、
√(1+x^2)=1+(x^2)/2-(x^4)/8+０(x^6) (０(x)はランダウの記号)
としてから、

lim[x→0][{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^n]
=lim[x→0]{-tanx/nx^(n-1)}+lim[x→0][{1+(x^2)/2-(x^4)/8+０(x^6)-1}/x^n] (ロピタルの定理を使いました)
n=2のとき
=-1/2+1/2
=0
と、題意にそぐわない結果となってしまいました。
どなたか、正答わかるお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2,#3です。
マクローリン展開すると
log(cosx)+√(1+x^2)-1=-(5/24)x^4+(29/720)x^6+O(x^8)
なので
0以外に収束するには　n=4
このとき
{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^4=-(5/24)+(29/720)x^2+O(x^4)
→ -5/24 (x→0)

お礼

ご回答ありがとうございました。
マクローリン展開の定義に戻って考えれば、
log(cosx)+√(1+x^2)-1=-(5/24)x^4+(29/720)x^6+O(x^8)
はあっという間に導けました。
計算の結果、有限確定値は-5/24に無事なりました！

回答No.3

info22

#2です。

n=0でも　=0 に収束しますね。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

info22

ヒント）
n=1,2,3では　=0 に収束します。
n=4では　=-5/24 に収束します。
n≧5では　=-∞　に発散します。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

KitCut-100

log(cosx)をマクローリン展開すると
= -1/2*x^2+.O(x^3)

√(1+x^2)=1+(x^2)/2
=1+1/2*(x^2)+.O(x^3)

よって
{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^n= (1+O(x^3))/x^n
です。これが0以外の確定値をもつためには、 n=0です。
またこのとき 確定値は 1 です。

お礼

ご回答ありがとうございました。
しかし、n=0では有限確定値は0になりませんか?
＞{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^n= (1+O(x^3))/x^n
がおかしいかと。