広義積分 問題

質問

広義積分　問題

広義積分の問題について、

∫[0→1]1/（√1-x)について、
x=1で定義されないので、lim[c→1-0]∫[0→c]1/（√1-x)dx
1-x=tとおくと、
lim[c→1-0]∫[1→1-c]-1/（√t)dt=2
としているのですが、極限値はlim[c→1]では不正解なのでしょうか？
なぜ、lim[c→1-0]としているのかわかりません・・・

また、∫[0→1]（1/x）dx
についても、x=0で定義されないので、
lim[c→+0]∫[c→1]（1/x）dx=+∞
これは、真数条件（logxにおいて、x<0）を満たすために
+0となっていると思います。
この認識でよいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

後半の質問は、その考え方で大丈夫です。

前半は、解答プロセスがグチャグチャしていて、見えにくいかもしれませんが、
ポイントは後半と基本同じことで、c = 1+0 だと、t = 1-c のとき、√t = √(1-c) = √(-0)
つまり、√～が定義できない側から近づく話になるので、まずいから、です。

そして、lim[c→1]～ = 何とか(という有限の値) になるには、lim[c→1+0]～ と lim[c→1-0]～ がともに存在して、同じ値にならないといけない、という原則があるので、そこらへんに厳しい先生なら、零点ということはないでしょうが、キッチリ減点はされるはず。

ただし、テストの答案で、lim[c→1]と書いたら、即間違い・減点にされるかというと、細かく言えばツッコミどころはあるけど、解ってはいそうだから、許してあげよう(完全に丸でなくても、原点なしの三角とか)、という先生も結構いそうな気がします。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#129197

>>これは、真数条件（logxにおいて、x<0）を満たすために+0となっていると思います。
この認識でよいでしょうか？

計算結果としてはそう考える人はいると思いますが、理論的には間違いです。
広義積分とは何なのか。もともと積分できる区間を積分できない点まで極限をとって計算することですよ。よって
1/xはx=0で不連続からこの点では積分できず、c→-0と考えれば積分区間は[c,1]で0∈[c,1]より
不連続点を含むため間違い。逆にc→＋0を考えると積分区間[c,1]においてc>0だから積分可能です。
同様にして前半もなぜc→1-0としないのかが分かるはず。

お礼

すいません。
∫[3～∞]1/（√x-3）dxについては新しく質問させて頂きました。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解できない点があるので再度質問させて下さい。
1/xはx=0で連続でないことは理解できます。
c→-0，ｃ→+0はそれぞれ左極限と右極限だと思います。
積分範囲は、ｃ＞0だからc→+0ということですか？

また、
∫[0→1]1/（√1-x）dxはlim[c→1-0]∫[0→ｃ]1/（√1-x）dx
と、左極限を考えています。
これは、ｃ＜1とするためですか？

追加で、質問させて下さい。
∫[3～∞]1/（√x-3）dxについて、解答は
lim[a→3+0]∫[a～b]1/（√x-3）dx+lim[c→∞]∫[b～c]1/（√x-3）dx
b∈（3，∞）
ここで、∞については特に制約がないので極限はlim[c→∞]で良いでしょうか？
また、b∈（3，∞）の意味はbは3～∞を含むという認識で良いですか？

以上、お手数ですがご回答よろしくお願い致します。