広義積分 問題

質問

広義積分 問題

∫[3～∞]1/（√x-3）dxについて、解答は
lim[a→3+0]∫[a～b]1/（√x-3）dx+lim[c→∞]∫[b～c]1/（√x-3）dx
b∈（3，∞）
ここで、∞については特に制約がないので極限はlim[c→∞]で良いでしょうか？
なぜ、lim[c→∞]なのか理解できていません。
また、b∈（3，∞）の意味はbは3～∞を含むという認識で良いですか？

以上、お手数ですがご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

＞極限はlim[c→∞]で良いでしょうか？
＞なぜ、lim[c→∞]なのか理解できていません。

で、良い、というか、そうしないと、元の広義積分・∫[3,∞]～dx が求められません。

この問題の場合だと、まともな値(ちゃんとした有限の値)にならない、
x = 3 や x = ∞ (これは厳密にはイコールなんて書いちゃいけませんが^^)
に渡る積分を求めないといけないので、ちゃんと値が求められる、
x = a (＞3かつ＜b)、x = c (＞b)を求めて、その結果に対して、
a → 3+0、c → ∞、の極限値を求めるのが、広義積分の求め方ですから。

＞また、b∈（3，∞）の意味はbは3～∞を含むという認識で良いですか？

単なる書き損じなのかもしれませんが、一応、ツッコんでおくと、話は全く逆です。

x∈A は、x は 集合A の要素である( x is an element of the set A. で∈はelementの頭文字)
なので、b は、開区間(3,∞) の要素である、つまり、3＜b＜∞、という意味です。

一度に両側の極限値を求めるのでもいいのでしょうが、おそらくこの前に、積分範囲の片方だけ、
被積分関数がまともな値にならない場合の広義積分の定義があって、それを使って、両側とも
まともな値にならない場合の定義をする、という順番で話が出てきていると思うので、積分範囲
をどこか(どこでもいいけど)まともな値をとるところを選んで、２つに区切ってやらないといけない、
そういう事情で、このbは出てきた訳です。

お礼

googleで調べたら、解決しました。
ありがとうございました。

補足

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

今回、直接関係はないのですが、
開区間(3,∞)に対して、閉区間[3,∞]はどのような意味なのでしょうか？
開区間と閉区間とは、開集合と閉集合と同じなのでしょうか？
開区間と閉区間について教えて頂けるとありがたいです。