積分

質問

lim(n→∞)∫(π,-π)(1+x+x^2)｜sin(nx)｜dx=?
っていう問題です。－πからπまでの積分です。
∫(π,-π)｜sin(nx)dx｜=4ということまではわかって、部分積分で解こうとしたのですがうまくいかなくて・・・
どなたか教えて下さい！

前の質問に書き込んでいただいた方すいません！パスワードがわからなくなって・・

回答No.4

ryn

偶関数，奇関数あたりに注目すれば
被積分関数が簡単になります．

回答No.3

sonetea

すみません。
π/nごとに正負が変化しますね。

f(x) = (1 + x + x^2) sin(nx)
とすると、

nが奇数のとき
lim(n→∞) {
Σ(k=-n, k=(n-1)/2) {
-∫(2kπ/n, (2k+1)π/n) f(x)dx
+∫((2k+1)π/n, (2k+2)π/n) f(x)dx
}
}

nが偶数のとき
lim(n→∞) {
Σ(k=-n, k=(n-1)/2) {
+∫(2kπ/n, (2k+1)π/n) f(x)dx
-∫((2k+1)π/n, (2k+2)π/n) f(x)dx
}
}

これで計算できそうな気がします。
Σの中はkの2次式ですし、不可能ではなさそうなんですが、
あまりにも計算が複雑になるので、別な形に簡略化できたり、
全く別の解法があると思います。

力になれなくてすみません。
解法を思いついたら、また書き込みます。

補足

ぜひ、お願いします。僕も偶奇で分けるやり方で何度か試してみたのですがなかなか合わないです。でも、やり方としては間違ってないように思うので、もうちょっと試してみます。

回答No.2

sonetea

∫sin(nx)dx = -cos(nx)/n
です。

sin'(x) = cos(x), cos'(x) = -sin(x)
ですしね。

補足

そうなんですけど、絶対値がつくとπ/nごとに符号が変わって、数列の和のように解いてみてもなかなか答えが合わないんです。

回答No.1

sonetea

> 部分積分で解こうとしたのですがうまくいかなくて・・・

どううまくいかないのですか？
部分積分を使うのはあってると思います。

この問題の場合、-π～0, 0～πに分けて絶対値を外した方がわかりやすいかもしれません。

部分積分において、
∫f'(x)g(x)dx = [f(x)dx g(x)] - ∫f(x)g'(x)dx

f'(x) = sin(nx)
g(x) = 1 + x + x^2

とおけば解けそうな気がします。

補足

sin(nx)の不定積分の求め方がわからないんです・・