次の極限を定積分に直して、値を求めるという問題です

質問

微積分で、次の極限を定積分に直してから、その値を求めなさい。
という問題があったのですが、解説が省略されているため、まったく解き方が分かりません＞＜

lim( n/(n^2) + n/(n^2+1) + n/(n^2+2^2) + … + n/(n^2 + (n-1)^2) )

自分では、1/n を前に出して、やってみたりと、色々やってみたのですが、
定積分に直すことが出来ませんでした＞＜

どうやるのかきちんと理解したいため、
詳細な解説をお願いできますでしょうか。。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

lastbouzu · ベストアンサー

見にくいかもしれませんが，
lim( n/(n^2) + n/(n^2+1) + n/(n^2+2^2) + … + n/(n^2 + (n-1)^2) )
=lim(1/1+1/(1+(1/n)^2)+1/(1+(2/n)^2)+…+1/(1+((n-1)/n)^2))/n
という形にすると，1/(1+x^2)という関数の0から1までの定積分にできます．
これはアークタンジェントに積分できるので，答えはpi/4ではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます！
なるほど。確かに、1/(1+x^2)はarctanxを微分したものですね！

理解できました!!

お二人ともをベストアンサーにしたいのですが、
今回は１番に書いていただいたlastbouzuをBAにしたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

Σ_{k=1}^nn/{n^2+(k-1)^2}
=1/nΣ_{k=1}^n1/{1+{(k-1)/n}^2}
→∫_0^1dx/(1+x^2)
=[arctan(x)]_0^1=arctan(1)=π/4

お礼

ありがとうございます！
1/(1+x^2) がarctanx を微分したものだとは気付きませんでした＞＜

おかげさまで、理解できました!!

お二人ともをベストアンサーにしたいのですが、
今回は１番に書いていただいたlastbouzuをBAにしたいと思います。

本当にありがとうございました。