極限

質問

lim[n→∞]∫［1/√n,∞］(ne^(-x^2))/(1+(n^2)(x^2))dx
と
lim[n→∞]∫［0,∞］(ne^(-x^2))/(1+(n^2)(x^2))dx
がわかりません。お願いします。

回答No.2

noname#152422

> lim[n→∞]∫［1/√n,∞］(ne^(-x^2))/(1+(n^2)(x^2))dx

任意のε>0を取って、積分区間[1/√n,ε)と[ε,∞)に分けて積分を評価する。
前者は(n/(1+(nε)^2))∫[0～∞]e^(-x^2)dxで上から評価し、後者は(n/(n+1))(ε-1/√n)で上から評価し、共に0に収束。

> lim[n→∞]∫［0,∞］(ne^(-x^2))/(1+(n^2)(x^2))dx

積分区間[0,1/√n)と[1/√n,∞)とに分ける。前者の極限は上の積分と同じだから0だが、後者は(arctan√n)/eで下から評価できて、極限は∞になる。

回答No.1

Ae610

lim[n→∞]∫［1/√n,∞］(ne^(-x^2))/(1+(n^2)(x^2))dx
lim[n→∞]∫［0,∞］(ne^(-x^2))/(1+(n^2)(x^2))dx
・・・共にπ/2