三角比の問題

質問

次の式の値を求めなさい。ただし、0°≦θ≦180°とする。
(1)cosθ＝5／13の時、(2sinθ－3cosθ)／(4sinθ－9cosθ)の値
(2)tanθ＝2の時、{(cosθ)／(1＋sinθ)＋(1＋sinθ)／(cosθ)}^2の値
(3)tanθ＝－3の時、1／(1＋sinθ－cosθ)＋1／(1－sinθ＋cosθ)の値

わからないです(泣)お願いします。

回答No.4

birth11

ANo.3 より、訂正。
回答は同じですが、書き損じました。

(1) の回答で、
「( i ) と ( ii ) を与式に代入して、」→「( i ) と ( iii ) を与式に代入して、」

この部分訂正します。申し訳ないです。

あと補足として、

( 2 ) で tanθ = 2 のとき sinθ、cosθ をどうやって出すか。
直角三角形を書いて考えます。直角をはさむ 2辺 の長さを 1 と 2 とします。
tanθ = 2 となるように三角形を書きます。斜辺の長さは 三平方の定理から
√( 1+ 4 ) = √5
と分かるので、
sinθ、cosθ を簡単に求められます。

(3) も考え方は同じです。

回答No.3

birth11

(1)
cosθ = 5 / 13………………………( i )
( sinθ )^2 + ( cosθ )^2 = 1………( ii )

( i ) を ( ii ) に代入すると、
( sinθ )^2 + 25 / 169 = 1
( sinθ )^2 = 1 - 25 / 169 = 144 / 169
sinθ = 12 / 13 ( ∵ 0°≦θ≦ 180° より sinθ ≧ 0)………( iii )

( i )と( ii )を与式に代入して、
(与式) = (2 * 12 / 13 - 3 * 5 / 13 ) / ( 4 * 12 / 13 - 9 * 5 / 13 )
= ( 9 / 13 ) / ( 3 / 13 )
= 3

(答え) 3

(2)
tanθ = 2 、0°≦θ≦180° より、sinθ > 0、cosθ > 0
sinθ = 2 / √5……………( i )
cosθ = 1 / √5……………( ii )

( i )と( ii )を与式に代入して、
(与式) = {( 1 / √5 ) / ( 1 + 2 / √5 ) + ( 1 + 2 / √5 ) / ( 1 / √5 )}^2
= {( 1 / ( √5 + 2 ) + √5 + 2 }^2
= √5 - 2 + √5 + 2
= 2 √5

(答え) 2 √5

(3)
tanθ = - 3、0°≦θ≦180° より、sinθ > 0、cosθ < 0
sinθ = 3 / √10………………( i )
cosθ = - 1 / √10……………( ii )

( i )と( ii )を与式に代入して整理すると、
(与式) = - 10 / 3

(答え) - 10 / 3

回答No.2

rwaq

cosθ=5/13→sinθ=12/13(∵cos＾θ＋sin＾θ=1）
うまい方法とは言えませんがこれらを単純に代入して計算せればでるかと…
与式=27/169

tanθ=2→tan^θ=４→tan^θ＋1=5→1/cos^θ=5→cos^θ1/5→sin^θ=2√6／５

与式を展開すると
cos＾θ／（1＋sinθ)＾＋(1＋sinθ)＾／cos^θ＋２
よってこれらに公式で求めた数値を代入して計算すればでると思います。

与式=（180‐48√6）／２５

さっきと同様に公式を使って
tan＾θ=９→tan＾θ＋1=10→cos＾θ=1/10→cosθ=-1/√10（単位円を書くことで２乗を解くときの±が分かります。今値からtanθ＜０であり範囲が０≦θ≦180なのでcosθ＜０です。）
→sinθ=3/√10（∵sin＾θ＋cos＾θ=1）
これらを与式に代入します。

途中√10/（√10＋４）＋√10/(√10-４)
となり楽ですね！

与式=-10/3

間違っていたらごめんなさい。
計算ミスなどしているかもしれません。

もっとうまい方法もあるかもしれません。

回答No.1

Tacosan

絵を書いたら?