三角比の方程式の問題です。助けて下さい＞＜

質問

三角比の方程式の問題です。助けて下さい＞＜

問　90°＜θ＜180°で、10cos^2θー24sinθcosθー5=0のとき、tanθの値を求めなさい。

sinをcosにするのかなーと、10cos^2θー24cos（90°-θ）cosθー5=0　にすることはできたのですが、どうすれば良いのか分かりません…そもそもここから違っているのでしょうか？？

よろしければ、分かりやすくお願い致します。

回答No.3

debut · ベストアンサー

cos^2θ≠０なので、10cos^2θー24sinθcosθー5=0をcos^2θで割ると
10-24*(sinθ/cosθ)-5/cos^2θ＝０
ここで、三角比の相互関係の式　sinθ/cosθ＝tanθ、
１＋tan^2θ＝１/cos^2θ　を上の式に適用すれば
10－24tanθ－5(１＋tan^2θ)＝０
整理すると、
５tan^2θ＋24tanθ－５＝０
(５tanθ－１)(tanθ＋５)＝０
90°＜θ＜180°では、tanθ＜０なので、tanθ＝－５。

お礼

回答ありがとうございます。

公式の使いどころがよく分かりました。

回答No.4

banakona

別解（こっちの方が素直だと思うけど・・・）

倍角公式で　cos2θ＝２cos^2θ－１　sin２θ＝sinθcosθ
　　　　　　　５（cos2θ＋１）－１２sin２θ－５＝０
　　　　　　　５cos2θ－１２sin２θ＝０　∴tan２θ＝５／１２

倍角公式で　tan２θ＝（２tanθ）／（１－tan^2θ）　だから
　　　　　　　（２tanθ）／（１－tan^2θ）＝５／１２
　　　　　　　５tan^2θ＋２４tanθ－５＝０　
　　　　　　　（５tanθ－１）（tanθ＋５）＝０　

で、＃１さんと同じ式が出てきました。

お礼

回答下さりありがとうございます。

そのようにして（５＋ｔａｎθ）（１－５ｔａｎθ）＝０が出せたのですね。
なんとか解くことができました！

回答No.2

gohtraw

済みません。＃１です。訂正。
誤：両辺をｃｏｓθで割ってやると
正：両辺をｃｏｓ＾２θで割ってやると

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
助かりました！

回答No.1

gohtraw

５＝（ｓｉｎ＾２θ＋ｃｏｓ＾２θ）＊５
なのでこれを元の式に代入して
５ｃｏｓ＾２θー２４ｓｉｎθｃｏｓθー５ｓｉｎ＾２θ＝０
（５ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）（ｃｏｓθ－５ｓｉｎθ）＝０
両辺をｃｏｓθで割ってやると
（５＋ｔａｎθ）（１－５ｔａｎθ）＝０

お礼

お礼が遅くなってしまいすみません。

なんとか答えは出せたのですが、
この考えに辿り着くまでが難しそうだなと思ってしまいました；
自分では思いつかない考え方です^^;;

回答いただき、ありがとうございます！