不定積分で面積を求めます。

質問

曲線(x-b) ^2+ y^2=a^2 (0<a<b)をy軸の回りに
回転して出来る回転体の体積を求めなさい。

円の式を変形して、・・・・

出来れば、図を付けてお願いします。

回答No.2

info22_

断面になる回転図形の方程式
　(x-b)^2+y^2=a^2 ...(1)
は中心の座標(b,0),半径aの円である。
これをy軸の周りに1回転したとき
「0<a<b」の条件があるので重なりあうことはなく、真ん中に穴のあいた綺麗なドーナツ型の中空立体ができます。
中が中空のドーナツ形立体ですから体積はゼロです。
なので回転する図形は、中が空の(1)の円周ではなく、
円の内部を含む領域図形である円板
　(x-b)^2+y^2≦a^2 ...(2)
の間違いだと思います。
以下(2)の作る図形をy軸の周りに1回転してできる「中身の詰まった」ドーナツ状の立体図形の体積Vを求めることにします。

なお、
>不定積分で面積を求めます。
不定積分では面積や体積は求められません。
面積や体積を求める積分は定積分（重積分）です。

パップス=ギュルダンの定理
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/パップス＝ギュルダンの定理
を使えば、
回転軸と回転図形の重心までの距離R=bと回転図形の面積S=πa^2を使って
ドーナッツ状の回転体の体積V
は
　V=2πRS=(2πb)×(πa^2)=2a^2*b*π^2 ...(※)
と求まります。

積分を使って求めるなら
回転体の体積公式
ttp://naop.jp/text/3/seki15.html
を使って
V=π∫[-a→a] {b+√(a^2-y^2)}^2 dy
　-π∫[-a→a] {b-√(a^2-y^2)}^2 dy
　=π∫[-a→a] 4b√(a^2-y^2) dy
　=4bπ∫[-a→a] √(a^2-y^2) dy
　=8bπ∫[0→a] √(a^2-y^2) dy ...(☆)
y=asin(t)とおいて置換積分すると
　=8bπ∫[0→π/2] acos(t)*acos(t)dt
　=4a^2*bπ∫[0→π/2] {1+cos(2t)}dt
　=4a^2*bπ∫[0→π/2] dt
　=4a^2*bπ(π/2)
　=2a^2*bπ^2

この結果はパップス＝ギュルダンの定理を使って求めた(※)と一致します。

[別解]
回転体の体積Vは、別の体積公式
ttp://jyukenblog.cocolog-nifty.com/math/2009/02/post-eb9d.html
の「バウムクーヘン法」を使えば
　V=2π∫[b-a→b+a] x*2√{a^2-(x-b)^2}dx
　 =4π∫[b-a→b+a] x√{a^2-(x-b)^2}dx
x-b=uとおいて置換積分すると
　 =4π∫[-a→a] (b+u)√(a^2-u^2)du
u√(a^2-u^2)は奇関数なので対称区間[-a→a]の積分はゼロ、
また√(a^2-u^2)は偶関数なので
　 =4π∫[-a→a] b√(a^2-u^2)du
　 =8bπ∫[0→a] √(a^2-u^2)du
この積分はuをyで置き換えると(☆)の積分と同じなので
　=2a^2*bπ^2

と(※)の体積と一致します。

図は参考URLの中の図を参照ください。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/pascal/math/math29.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

何とか求める事ができました。
URLを参考にし、図を考えて行きます。
よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa

＞タイトルの意味不明、円の式を変形して、・・・・も意味不明だが、
曲線(x-b) ^2+ y^2=a^2 (0<a<b)はx-y座標系の点(b,0)を中心とする
半径aの円であり、これをy軸の回りに回転して出来る回転体は
ドーナツ形(円環体、トーラス)なので、その体積は円の面積πa^2
×円の中心の周長2πb=2π^2a^2bで求められる。
　どうしても積分したいなら、点(b,0)を原点とした極座標(r,θ)を
考えると、図のrdθdrの微小面積をy軸の回りに回転させて出来る
回転体の体積dvは、dv=2π(b+rcosθ)rdθdr。
dvをθは0から2π、rは0からaまで積分すれば、求める体積Vとなるので、
V=∫[r=0→a]∫[θ=0→2π]2π(b+rcosθ)rdθdr
=2πb∫[r=0→a]∫[θ=0→2π]rdθdr
+2π∫[r=0→a]∫[θ=0→2π]r^2cosθdθdr
=4π^2b∫[r=0→a]rdr+2π(a^3/3)∫[θ=0→2π]cosθdθ
=4π^2b*(a^2/2)=2π^2a^2b。