数学III 積分の問題

質問

xy平面上の曲線y=e^x　とy軸および直線y=eで囲まれた図形をy軸の周りに一回転してできる回転体の体積を求めよ。答え（e-2)π　←　あってるかわからない

この問題の途中計算と答えを教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

回転体の体積公式を使って

V=π∫[1,e] (x^2)dy
=π∫[1,e] ((log(y))^2)dy
=π{[y((log(y))^2)][1,e]-∫[1,e] 2ylog(y)/y dy}
=π{e-2∫[1,e] log(y) dy}
=π{e-2([ylog(y)][1,e]-∫[1,e] (y/y) dy)}
=π{e-2(e-∫[1,e] 1 dy)}
=π{e-2e+2[y][1,e]}
=π{-e+2(e-1)}
=π(e-2)

お礼

dyでやるのか！
ありがとうございました

回答No.2

alice_44

回転体の体積公式として
高校でよく使われるものは、
二種類ある。
いわゆる、ミルフィーユ積分:　　∫(πx^2)dy
いわゆる、バウムクーヘン積分:　∫(2πxy)dx
それぞれ、愛称を参考に、
なぜその式になるのか
一度考えてみると、覚えやすい。

A No.1 が、ミルフィーユ積分による計算。
計算するとき、x を消す代わりに y を消して、
∫(1→e) x^2 dy = ∫(0→1) (x^2)(dy/dx) dx
= ∫(0→1) (x^2)(e^x) dx
= [ (x^2)(e^x) ]_(0→1) - ∫(0→1) 2x(e^x) dx
= [ (x^2)(e^x) ]_(0→1) - 2{ [ x(e^x) ]_(0→1) - ∫(0→1) e^x dx }
= [ (x^2)(e^x) ]_(0→1) - 2[ x(e^x) ]_(0→1) + 2[ e^x ]_(0→1)
= [ (x^2 - 2x + 2)(e^x) ]_(0→1)
= e - 2.
と処理する手もあるだろう。

バウムクーヘン積分もやってみると…
体積 = ∫(0→1) 2πx(e - e^x) dx
= 2πe∫(0→1) x dx - 2π∫(0→1) xe^x dx.

∫(0→1) x dx = [ (1/2)x^2 ]_(0→1)
= 1/2 - 0.

部分積分で、
∫(1→e) xe^x dx = [ xe^x ]_(0→1) - ∫(0→1) e^x dx
= [ xe^x ]_(0→1) - [ e^x ]_(0→1)
= (e - 0) - (e - 1).

以上より、
体積 = 2πe・(1/2) - 2π・1 = π(e-2).

お礼

ありがとうございました！