高校 数3 定積分の応用

質問

0≦x≦π/2において、２曲線y=4sin2x、y=4cosxで囲まれた図形をｘ軸の周りに一回転させてできる回転体の体積Ｖを求めよ。

これの途中式と回答をお願いします。

回答No.2

info222_

0≦x≦π/2において、２曲線y=y1=4sin(2x)、y=y2=4cos(x) を描いくと
２曲線で囲まれた領域はπ/6≦x≦π/2の範囲であることがわかる。
この区間では　y1≧y2≧0であるから
V=π ∫ [π/6,π/2] (y1^2-y2^2) dx=π ∫ [π/6, π/2] {16(sin(2x))^2-16(cos(x))^2 } dx
= π ∫ [π/6, π/2] {8(1-cos(4x))-8(1+cos(2x)) } dx
= π ∫ [π/6, π/2] {-8cos(4x)-8cos(2x) } dx
= π [-2sin(4x)-4sin(2x)] [π/6, π/2]
= π {(√3)+2(√3))
=3(√3)π　…　（答）

回答No.1

bran111

0≦x≦π/2において、２曲線y1=4sin2x、y2=4cosxで囲まれた図形をｘ軸の周りに一回転させてできる回転体の体積Ｖを求めよ。

y1とy2のグラフを書いて状況を確認してから、Y1とy2の交点を求める。
　4sin2x＝4cosx　⇒　sin2x-cosx=0　⇒　2sinxcosx-cosx=0 ⇒
Cosx(sinx-1/2)=0
0≦x≦π/2においてcosx=0またはsinｘ＝1/2を満たす点は各々x=π/2, x=π/6である。従って
V=π∫(0→π/6)(y2^2-y1^2)dx+π∫(π/6→π/2)(y1^2-y2^2)dx
=π∫(0→π/6)(y2^2-y1^2)dx-π∫(π/6→π/2)(y2^2-y1^2)dx

y2^2-y1^2の原始関数を求める。
∫(y2^2-y1^2)dx=∫[(4cosx )^2-(4sin2x )^2]dx
=16∫[(1+cos2x)/2-(1-cos4x)/2]dx=8∫[cos2x+cos4x]dx
=8[sin2x/2+sin4x/4]=[4sin2x+2sin4x]
V=π[4sin2x+2sin4x]( 0→π/6)- π[4sin2x+2sin4x]( π/6→π/2)
F(x)= 4sin2x+2sin4xとおくと
V/π=F(π/6)- F(0)- (F(π/2)- F(π/6))=2 F(π/6)- F(0)- F(π/2)
F(π/6)= 4sin(2π/6)+2sin(4π/6)=4 sin(π/3)+2sin(2π/3)=4√3/2+2√3/2=3√3
F(0)=0
F(π/2)= 4sin(2π/2)+2sin(4π/2)=4 sin(π)+2sin(2π)=0

V=2πF(π/6)= 6√3π