数学で質問です。

質問

(Σ0≦α≦k ∮|∂αf(x)|^p dx)^1/p=||f||
がノルムの条件をみたすのですが三角不等式を満たす証明が分かりません。おそらくミンコフスキーの不等式を使うと思うのですがうまくいきません。
どなたか教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

記号がよくわからないのですが、

αは多重指数
×「0≦α≦k 」　→　○「0≦|α|≦k」
×「 ∮」　→　○「∫」
×「∂α」　→　○「(∂^α)」

ですか？
もしそうなら、

∫[D]|(∂^α)f(x)|^pdx)^(1/p)=F
∫[D]|(∂^α)g(x)|^pdx)^(1/p)=G
∫[D]|(∂^α)(f+g)(x)|^pdx)^(1/p)=H

とおいて、

||f+g||
=(Σ[0≦|α|≦k]∫[D]|(∂^α)(f+g)(x)|^pdx)^(1/p)
=(Σ[0≦|α|≦k]H^p)^(1/p)
≦(Σ[0≦|α|≦k](F+G)^p)^(1/p)　←"積分に関する"ミンコフスキーの不等式
≦(Σ[0≦|α|≦k]F^p)^(1/p)+(Σ[0≦|α|≦k]G^p)^(1/p)　←"Σに関する"ミンコフスキーの不等式
=||f||+||g||

お礼

ありがとうございます。
条件に少し誤りがありました。

回答を見て納得することができました。