高校数学 積分法

質問

等式f(ｘ)＝(ｘ－2)(x－∫0→2｜f(ｘ)│dx)を満たす関数を求めよ。(縦線は絶対値、下端0、上端2です)という問題で解答では
∫0→2｜f(ｘ)│dxをαとおき
f(ｘ)＝(ｘ－2))(x－α)
またα＞０として
［1］０＜α＜２　［2］α≧２　と場合を分けているのですが
なぜα＞０となるのか理解できません。どなたか教えて頂けないでしょうか？

回答No.1

banakona · ベストアンサー

＞f(ｘ)＝(ｘ－2)(x－∫0→2｜f(ｘ)│dx)

ごちゃごちゃしていますが、∫0→2｜f(ｘ)│dxが定積分である以上、ｆ（ｘ）はただの２次式です。
そしてこのf(x)の絶対値を０から２まで積分したものであるαは０以下ではない、ということですね。

お礼

確かにｆ（ｘ）は２次式です。ありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

α＝∫0→2｜f(ｘ)│dx　が正となるのは、次のことが同時に成り立っているからです。

１）積分区間が増加する方向。
　（積分区間が「0→2」であって「2→0」ではない。）
２）被積分関数が常に正。
　（積分の足し合わせの元になっているものが常に正ならば、足し合わせた結果も正になる。（正の足し算は必ず正。）　）

　ひょっとしたら、被積分関数に絶対値が掛かっているだけでは、常に正であるとは言えない（つねに０の可能性もある）ことを気にされているとしたら、次のことを考えられたらよいと思います。

　αを使ってf(x)を書き直した式
＞f(ｘ)＝(ｘ－2))(x－α)
から、f(x)はｘの2次関数になっていますので、|f(x)|が積分区間で常に０になる可能性がありません。
　したがって、被積分関数|f(x)|が０になることはなく、αの範囲は、必ず、
　　α＞０
となります。

お礼

ゼロが気がかりでした。もし∫0→2｜0│dxというものが定積分で表されたとしたらこれが図形的に線なのか、面積なのかともやもやしてました。左辺のf(ｘ)と右辺のf(ｘ)が同じことだという認識が大切なんですね。ありがとうございました。

回答No.2

proto

f(x)に絶対値がついて|f(x)|となっていますよね。
積分はグラフの下の面積を求めるのと一緒ですから、0から2までの|f(x)|の下の面積を考えると、|f(x)|が常に正なので∫|f(x)|dxも正。
よって
　　a = ∫|f(x)|dx >0
となります。

もし、言葉だけではわかりにくかったら、例えばa=1としてみると
　　f(x) = (x-2)(x-1)
ですよね。
このとき試しにf(x)と|f(x)|のグラフを描いてみると、|f(x)|を積分すると正になることがわかると思います。

お礼

ありがとうございました。やっと次に進めます。